Concursos Públicos ⇒ (UnB/CESPE - SEDUC-CE - 2009) Somatório Tópico resolvido

[cicero444]

Sabendo que [tex3]2^{14} =16.384[/tex3], então o somatório [tex3]\sum_{n=3}^{14}[/tex3] [tex3]\binom{14}{n}[/tex3] é igual a

a) [tex3]32.768[/tex3]
b) [tex3]8.192[/tex3]
c) [tex3]16.278[/tex3]
e) [tex3]16.369[/tex3]

[theblackmamba]

Olá cicero,
Poderia redigir ou descrever o que está escrito na questão ? Pois está um pouco ilégivel.
Abraço!

[theblackmamba]

Se você lembrar das propriedades binomiais verá que:
[tex3]\sum_{n=0}^k\binom{k}{n}=\binom{k}{0}+\binom{k}{1}+...+\binom{k}{k} = 2^k[/tex3]

Prova:
[tex3](a+b)^k=\sum_{n=0}^k\binom{k}{n}\cdot a^{k-n}\cdot b^n[/tex3]

Fazendo [tex3]a=b=1[/tex3]:

[tex3](1+1)^k=\sum_{n=0}^k\binom{k}{n}1^{k-n}\cdot b^n[/tex3]. Como [tex3]n \leq k[/tex3]
[tex3]\boxed{2^k=\sum_{n=0}^k\binom{k}{n}}[/tex3]

Sendo,
[tex3]\binom{k}{n}=\frac{k!}{n!\cdot (n-k)!}[/tex3]

Porém,
[tex3]\sum_{n=3}^{14}\binom{14}{n}=\binom{14}{3}+\binom{14}{4}+...+\binom{14}{14}[/tex3]

Veja que faltam os termos [tex3]\binom{14}{0}+\binom{14}{1}+\binom{14}{2}[/tex3] na soma, logo:

[tex3]\sum_{n=3}^{14}\binom{14}{n}=2^{14}-\left[\binom{14}{0}+\binom{14}{1}+\binom{14}{2}\right][/tex3]
[tex3]\sum_{n=3}^{14}\binom{14}{n}=2^{14}-\left[1+14+\frac{14\cdot 13}{2}\right][/tex3]
[tex3]\sum_{n=3}^{14}\binom{14}{n}=16384-1-14-91[/tex3]
[tex3]\boxed{\sum_{n=3}^{14}\binom{14}{n}=16278}[/tex3]. Letra C