Pré-Vestibular ⇒ (UFRGS) Funções e Geometria Plana

[Jose raul]

Sejam [tex3]V = \{ (P,Q) \text{ | } P \text{ e } Q \text{ s\tilde{a}o v\acute{e}rtices distintos de um hex\acute{a}gono regular}\}[/tex3] e [tex3]f[/tex3] uma função que associa a cada par [tex3]( P,\, Q )[/tex3] de [tex3]V[/tex3] a distância de [tex3]P[/tex3] a [tex3]Q.[/tex3] O número de elementos do conjunto imagem de [tex3]f[/tex3] é:

a) [tex3]3[/tex3]
b) [tex3]4[/tex3]
c) [tex3]5[/tex3]
d) [tex3]15[/tex3]
e) [tex3]30[/tex3]

[John]

O hexágono tem 6 vértices. Sejam [tex3]V_1, V_2, V_3, V_4, V_5[/tex3] e [tex3]V_6[/tex3] os vértices do hexágono regular.

Pelo enunciado, temos que [tex3]V[/tex3] representa o conjunto de todos os pares distintos de vértices de um hexágono regular. Então o conjunto [tex3]V[/tex3] pode ser escrito da seguinte forma:

• [tex3]V = \left\{(V_1, V_2), (V_1, V_3), (V_1, V_4), (V_1, V_5), (V_1, V_6), (V_2, V_3), (V_2, V_4), (V_2, V_5),\\ (V_2, V_6), (V_3, V_4), (V_3, V_5), (V_3, V_6), (V_4, V_5), (V_4, V_6), (V_5, V_6)\right\}[/tex3].

Assim o domínio da função [tex3]f[/tex3] possui [tex3]15[/tex3] elementos.

Seja [tex3]d(V, P)[/tex3] a distância de [tex3]V[/tex3] a [tex3]P.[/tex3]

Note que como o hexágono é regular temos que:

[tex3]d(V_1, V_2) = d(V_2, V_3) = d(V_3, V_4) = d(V_4, V_5) = d(V_5, V_6) = A =[/tex3] ao comprimento da aresta do hexágono.

[tex3]d(V_1, V_3) = d(V_2, V_4) = d(V_3, V_5) = d(V_4, V_6) = d(V_5, V_1) = B =[/tex3] ao comprimento da menor diagonal do hexágono.


[tex3]d(V_1, V_4) = d(V_2, V_5) = d(V_3, V_6) = C =[/tex3] ao comprimento da maior diagonal do hexágono.

Portanto a imagem possui [tex3]3[/tex3] valores: [tex3]Im(f) = \{A, B, C\}[/tex3].