Olimpíadas ⇒ (Bulgária) Equações Trigonométricas Tópico resolvido

[theblackmamba]

Encontre o menor número natural [tex3]a[/tex3] para que a equação abaixo tenha uma raíz real.

[tex3]\cos^2\pi(a-x)-2\cos \pi(a-x)+\cos\frac{3\pi x}{2a}\cdot \cos \left(\frac{\pi x}{2a}+\frac{\pi}{3}\right)+2=0[/tex3]

Resposta

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6

[Vinisth]

Olá theblackmamba,

[tex3]\cos^2\pi(a-x)-2\cos \pi(a-x)+\cos\frac{3\pi x}{2a}\cdot \cos \left(\frac{\pi x}{2a}+\frac{\pi}{3}\right)+2=0[/tex3]
Temos :
[tex3]\underbrace{\cos^2\pi(a-x)-2\cos \pi(a-x)+1}_{\left[cos\pi(a-x)-1\right]^2}+\cos\frac{3\pi x}{2a}\cdot \cos \left(\frac{\pi x}{2a}+\frac{\pi}{3}\right)+1=0[/tex3]
[tex3]\boxed{\left[\cos\pi(a-x)-1\right]^2+\left[\cos\frac{3\pi x}{2a}\cdot \cos \left(\frac{\pi x}{2a}+\frac{\pi}{3}\right)+1\right]=0}[/tex3]
Para que tudo anule a primeira parcela tem de valer [tex3]0[/tex3]:
[tex3]\left[\cos\pi(a-x)-1\right]^2=0[/tex3] Obtemos que :
[tex3]\boxed{x \equiv a (mod \ 2)}[/tex3]
A segunda parcela ser [tex3]0[/tex3] para cada cos o valor tem de [tex3]-1[/tex3] e [tex3]1[/tex3]:
[tex3]\left[\cos\frac{3\pi x}{2a}\cdot \cos \left(\frac{\pi x}{2a}+\frac{\pi}{3}\right)+1\right][/tex3]
Se [tex3]\cos \left(\frac{\pi x}{2a}+\frac{\pi}{3}\right)=1[/tex3]
Então :
[tex3]\frac{\cancel{\pi} x}{2a}+\frac{\cancel{\pi}}{3}=2k\cancel{\pi}[/tex3]
[tex3]3x=12ak-2a[/tex3]
[tex3]\boxed{3x \equiv -2a \ (mod \ 12a)}[/tex3]

Se Se [tex3]\cos \left(\frac{\pi x}{2a}+\frac{\pi}{3}\right)=-1[/tex3]
Então :
[tex3]\frac{\cancel{\pi} x}{2a}+\frac{\cancel{\pi}}{3}=2k\cancel{\pi}+\cancel{\pi}[/tex3]
[tex3]3x=12ak+4a[/tex3]
[tex3]\boxed{3x \equiv 4a \ (mod \ 12a)}[/tex3]

Veja que [tex3](3x)[/tex3] é divisível por [tex3]2[/tex3], então [tex3]x[/tex3] é divisível por [tex3]2[/tex3]. E [tex3]x=a[/tex3].
Temos também que [tex3]-2a[/tex3] e [tex3]4a[/tex3] é divisível por [tex3]3[/tex3]. Logo que [tex3]a[/tex3] é divisível por [tex3]3[/tex3].
Então para satisfazer a equação, [tex3]a[/tex3], tem que ser divisível por [tex3]3[/tex3] e [tex3]2[/tex3] concomitantemente.

Concluímos que [tex3]\boxed{6|a}[/tex3] é nosso valor minimo.

Abraço