Pré-Vestibular ⇒ (Unimontes MG - 2013) Números Complexos Tópico resolvido

[hudsoncori]

Se puderem me ajudar com a resolução passo a passo ficarei muito agradecido:

Considere [tex3]z= \sqrt{n}(cos 30^{\circ}+ i \cdot sen 30^{\circ})[/tex3] e [tex3]w= n(cos 15^{\circ} + i \cdot sen 15^{\circ})[/tex3], em que [tex3]n[/tex3] é o menor inteiro positivo tal que [tex3](1+\sqrt{3i})^{n}[/tex3] seja real. Então, é correto afirmar que [tex3]z \cdot w[/tex3] vale

A) [tex3]\frac{3\sqrt{6}}{2}- i\cdot \frac{3\sqrt{6}}{2}[/tex3]

B) [tex3]-\frac{3\sqrt{6}}{2} + i\cdot \frac{3\sqrt{6}}{2}[/tex3]

C) [tex3]\frac{3\sqrt{6}}{2}+ i\cdot \frac{3\sqrt{6}}{2}[/tex3]

D) [tex3]-\frac{3\sqrt{6}}{2} - i\cdot \frac{3\sqrt{6}}{2}[/tex3]

Resposta

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RESPOSTA: LETRA C

[theblackmamba]

Olá,

Seja [tex3]\gamma=1+\sqrt{3} i\,\,\Rightarrow\,\,|\gamma|=2\,\,\therefore\,\,\gamma=2\cdot (\cos 60+i\cdot \sin 60)[/tex3]

[tex3]\gamma^n=2^n\cdot [\cos (60n)+i\cdot \sin (60n)][/tex3]

Para termos um número real a parte imaginária deve ser nula, logo:
[tex3]2^n\cdot i \cdot \sin(60n)=0[/tex3]
[tex3]\sin(60n)=0[/tex3]

[tex3]60n=0+k\pi[/tex3], sendo [tex3]\pi=180^{\circ}[/tex3] e [tex3]k[/tex3] um número natural.
[tex3]60n=180k[/tex3]
[tex3]n=3k[/tex3]

Creio que não foi a intenção do enunciado dizer que o menor valor para [tex3]n[/tex3] é [tex3]0[/tex3], pois o menor valor para [tex3]k[/tex3] é [tex3]0[/tex3]. Geralmente neste tipo de questão é citado [tex3]n \neq 0[/tex3]. Então ficaremos com [tex3]k=1[/tex3] e por consequência [tex3]\boxed{n=3}[/tex3].

Lembre que quando multiplicamos dois números complexos os módulos se multiplam e os argumentos se somam, então:

[tex3]z \cdot w=(\sqrt{3}\cdot 3)\cdot [(\cos (30+15)+i\cdot \sin(30+15)][/tex3]
[tex3]z\cdot w=3\sqrt{3}\cdot (\cos45+i\cdot \sin 45)[/tex3]
[tex3]z \cdot w=3\sqrt{3}\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{z \cdot w=\frac{3\sqrt{6}}{2}+i\cdot \frac{3\sqrt{6}}{2}}[/tex3]. Letra C

PS.: Dica: Para manter a organização do fórum não utilize somente letras maiúsculas nos títulos.

Abraço.