Ensino Médio ⇒ Inequação Irracional Tópico resolvido

[mahriana]

Resolva a inequação:


[tex3]\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}>\frac{x-1}{x}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]S=\left\{x\in\mathbb{R}|1<x<\frac{1+\sqrt{5}}{2}\vee x>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}[/tex3]

[jrneliodias]

Olá, Mahriana.

Primeiro, realizamos as condições de existência:
[tex3]x-\frac{1}{x}\geq0\,\,\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\,\,\,\,1-\frac{1}{x}\geq0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\frac{x^2-1}{x}\geq0\,\,\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\,\,\,\,\frac{x-1}{x}\geq0[/tex3]

[tex3]\Rightarrow\,\,\,\,\,x\geq1\,\,\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\,\,\,\,x\leq0\,\,\,\,\text{ou}\,\,\,\,x\geq1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\boxed{x\geq1}[/tex3]

Agora vamos para a equação, realizando as seguinstes substituições:
[tex3]x-\frac{1}{x}=a\,\,\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\,\,\,\,1-\frac{1}{x}=b[/tex3]

Temos:
[tex3]\sqrt a -\sqrt b> b\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,a+b-2\sqrt{ab}> b^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a+b-b^2>2\sqrt{ab}[/tex3]

[tex3]\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,(a+b-b^2)^2>4ab\,\,\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\,\,\,\,4ab>\,(satisfeito)[/tex3]

[tex3]\Rightarrow\,\,\,\,\,a^2+b^2+b^4+2ab-2ab^2-2b^3>4ab\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\\\\a^2+b^2+b^4-2ab-2ab^2-2b^3\geq0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,(b-a+b^2)^2>0\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,b-a+b^2>0[/tex3]

Substituindo:
[tex3]\left(1-\frac{1}{x}\right)-\left(x-\frac{1}{x}\right)+\left(1-\frac{1}{x}\right)^2>0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,2-x-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}>0[/tex3]

[tex3]\frac{2x^2-x^3-2x+1}{x^2}>0[/tex3] Como [tex3]x^2>0[/tex3] , a equação será satisfeita se, e somente se:
[tex3]2x^2-x^3-2x+1>0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x^3-2x^2+2x-1<0[/tex3]

Fatoramos:
[tex3]x(x^2-2x+1)+(x-1)<0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,(x-1)\left[x(x-1)+1\right]<0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\\\\(x-1)(x^2-x+1)<0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,x<1[/tex3]

[tex3]S=\{\emptyset\}[/tex3]

Creio que seja isso. Poderia apontar meu erro?

Abraço.