Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana - Meio Círculo Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Calcular a área do quadrado [tex3]ABCD[/tex3], se:

[tex3]AM=a[/tex3], [tex3]DN=b[/tex3] e [tex3]\overline{AM}//\overline{DN}[/tex3].

Circ.jpg (10.04 KiB) Exibido 1017 vezes

(A) [tex3]2ab[/tex3]
(B) [tex3]ab[/tex3]
(C) [tex3]\frac{ab}{2}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{3ab}{2}[/tex3]
(E) [tex3]2\sqrt{ab}[/tex3]

Resposta

---

A

[VALDECIRTOZZI]

Consideremos a figura:

Meia Circunferência.jpg (34.52 KiB) Exibido 987 vezes

Consideremos o quadrilátero [tex3]ABHG[/tex3]. Como [tex3]\overline{BH} \ e \ \overline{AG}[/tex3] são paralelas, temos que [tex3]ABGH[/tex3]é um trapézio.
[tex3]O[/tex3] é o centro da circunferência e ponto médio do lado [tex3]AB[/tex3]. Traçando a partir de [tex3]O[/tex3] uma paralela ao lado [tex3]AG[/tex3], esta reta intercepta o lado [tex3]GH[/tex3] em [tex3]J[/tex3], sendo [tex3]J[/tex3] o ponto médio de [tex3]GH[/tex3] (Teorema da base média).
Como [tex3]\overline{AG}//\overline{BH}[/tex3] e [tex3]\overline{GJ}=\overline{JH}=c[/tex3]. concluímos que o quadrilátero [tex3]ABHG[/tex3] é um trapézio retângulo, sendo [tex3]\hat G= \hat H= 90^o[/tex3].

Consideremos o [tex3]\Delta AIB[/tex3], retângulo em [tex3]I[/tex3], já que [tex3]\overline{BI}//\overline{GH}[/tex3]. O segmento [tex3]\overline{AI}=b-a[/tex3]:
[tex3]\cos \alpha=\frac{\overline{AI}}{\overline{AB}}=\frac{b-a}{\ell}[/tex3] [tex3](I)[/tex3], onde [tex3]\ell[/tex3] é o lado do quadrado.

Agora consideremos o triângulo retângulo [tex3]\Delta {OBC}[/tex3], retângulo em [tex3]B[/tex3]:
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
[tex3]\left(\overline{OC}\right)^2=\left(\overline{OB}\right)^2+\left(\overline{BC}\right)^2[/tex3]
[tex3]R^2=\left(\frac{\ell}{2}\right)^2+\ell^2[/tex3], onde [tex3]R[/tex3] é o raio da circunferência.
[tex3]R^2=\frac{5\ell^2}{4}[/tex3] [tex3](II)[/tex3]

Consideremos o [tex3]\Delta AOG[/tex3]. Aplicando o Teorema dos Cossenos:
[tex3]R^2=b^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2-2 \ . \ b \ . \ \frac{\ell}{2} \ . \ \cos \alpha[/tex3]

Substituindo [tex3](I) \ e \ (II)[/tex3] na equação acima:
[tex3]\frac{5\ell^2}{4}=b^2+\frac{\ell^2}{4}-b \ . \ \ell \ . \left(\frac{b-a}{\ell}\right)[/tex3]
[tex3]\ell^2=b^2-b^2+ba[/tex3]
[tex3]\boxed{\ell^2=ab}[/tex3]. Alternativa [tex3]B[/tex3].

O gabarito dá altenativa [tex3]A[/tex3]. É provável que eu tenha cometido algum erro, contudo, construí a figura conforme fornecida e verifiquei que é realmente [tex3]B[/tex3] a resposta correta. Se houver algum engano, por favor, corrijam-me.

Espero ter ajudado!

[FilipeCaceres]

Olá VALDECIRTOZZI,

A sua resposta está certa. Se estivessemos em uma prova você poderia fazer o seguinte, mover o ponto [tex3]M[/tex3] até [tex3]B[/tex3] consequentemente teríamos [tex3]\overline{AM}=\overline{DN}[/tex3], ou seja, [tex3]a=b=\ell[/tex3].

A área vale [tex3]A=\ell^2[/tex3]

Fazendo a mesma substituição nas alternativas [tex3](a=b=\ell)[/tex3], você encontrará a Letra B.

Abraço.

[theblackmamba]

Excelentes resolução e dica para resolver a questão
Parabéns.

Abraço.!