Ensino Superior ⇒ Série de Taylor Tópico resolvido

[gilrer]

Sabendo que a série de Taylor para [tex3]\arctan [/tex3] é

[tex3]\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty } (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}[/tex3]

Para [tex3]|x| < 1[/tex3]. Usando isso, calcule: [tex3]\lim_{x \to 0}\frac{\arctan x}{x^3 + 7x}[/tex3]

a) [tex3]\frac{8}{7}[/tex3]

b) [tex3]7[/tex3]

c) [tex3]- \frac{8}{7}[/tex3]

d) [tex3]- \infty[/tex3]

e) [tex3]\frac{1}{7}[/tex3]

f) [tex3]- \frac{1}{7}[/tex3]

g) [tex3]0[/tex3]

h) [tex3]1[/tex3]

[theblackmamba]

Reescrevendo a série:

[tex3]\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...-...[/tex3]

[tex3]\frac{\arctan x}{x^3+7x}=\frac{x}{x^3+7x}-\frac{x^3}{3\cdot (x^3+7x)}+\frac{x^5}{5\cdot (x^3+7x)}-\frac{x^7}{7\cdot (x^3+7x)}+...-...[/tex3]

[tex3]\lim_{x \to 0}\,\frac{\arctan x}{x^3+7x}=\lim_{x \to 0}\,\frac{1}{x^2+7}-\frac{x^2}{3\cdot (x^2+7)}+\frac{x^4}{5\cdot (x^2+7)}-\frac{x^6}{7\cdot (x^2+7)}+...-[/tex3]

[tex3]\lim_{x \to 0}\,\frac{\arctan x}{x^3+7x}=\frac{1}{7}-0+0-0+...-...[/tex3]

[tex3]\boxed{\lim_{x \to 0}\,\frac{\arctan x}{x^3+7x}=\frac{1}{7}}[/tex3]

Abraço.

[theblackmamba]

Também sai usando a Regra de L'Hospital:

[tex3]\frac{d}{dx}(\arctan u)=\frac{u'}{1+u^2}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \to 0}\,\frac{\arctan x}{x^3+7x}=\frac{1}{(1+x^2)(3x^2+7)}=\frac{1}{(1+0^2)(3\cdot 0^2+7)}=\boxed{\frac{1}{7}}[/tex3]

Abraço.