Ensino Médio ⇒ Desigualdades e Implicações Lógicas

[olgario]

Determinar o valor de [tex3]k[/tex3] de modo que seja verdadeira a seguinte afirmação:

• [tex3]3x-1< -4 \Longrightarrow (4k^2-1)(3x-1) < -4(4k^2-1)[/tex3]

[fabit]

Tens aí uma implicação lógica [tex3]p\Rightarrow q ,[/tex3] portanto será verdadeira a menos que [tex3]p[/tex3] seja verdadeira e [tex3]q[/tex3] seja falsa.

Vou ver os valores de [tex3]k[/tex3] que tornam falsa a implicação e a resposta será todos os outros valores de [tex3]k.[/tex3]

• [tex3]p:\text{ } 3x-1<-4[/tex3] é verdadeira para [tex3]x<-1.[/tex3]

Ocorre que a segunda inequação é como a primeira, multiplicada por [tex3]4k^2-1,[/tex3] ficando portanto uma questão de saber o sinal desse novo fator para determinar se o sentido da desigualdade se mantem, se inverte ou vira sinal de igual.

Estudando o sinal da função [tex3]f(k)=4k^2-1,[/tex3] temos:

• [tex3]k=\pm\frac{1}{2}\Rightarrow f(k)=0[/tex3]
  
  [tex3]k\in\left]-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right[\Rightarrow f(k)<0[/tex3]
  
  [tex3]k\in \left]-\infty;-\frac{1}{2}\right[ \cup \left]\frac{1}{2};+\infty\right[\Rightarrow f(k)>0[/tex3]

Nas duas primeiras hipóteses a proposição [tex3]q[/tex3] fica falsa, e com ela a implicação como um todo. Portanto a resposta é a terceira:

• [tex3]k\in \left]-\infty;-\frac{1}{2}\right[ \cup \left]\frac{1}{2};+\infty\right[[/tex3]