Ensino Médio ⇒ Expoente Racional Tópico resolvido

[Brunojasp]

Se [tex3]2^{x_1}[/tex3] [tex3]=5^{x_2}=10[/tex3], quanto vale [tex3]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}[/tex3]?

PS: os que têm expoente, são como se fossem os que eu escrevi na fração.

[theblackmamba]

[tex3]2^{x_1}=10[/tex3]
[tex3]x_1\cdot \log\,2=\log\,10[/tex3]
[tex3]x_1=\frac{1}{\log\,2}[/tex3]

[tex3]5^{x_2}=10[/tex3]
[tex3]x_2=\frac{1}{\log\,5}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\log\,2+\log\,5[/tex3]

Mas,
[tex3]\log\,5=\log\,\frac{10}{2}=\log\,10-\log\,2=1-\log\,2[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\cancel{\log\,2}+(1-\cancel{\log\,2})[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1}[/tex3]

[Brunojasp]

Obrigado pela ajuda!
Cara eu só tenho uma pergunta! Quando você quer transformar algo em logaritmo, porque sempre se usa a base sendo 10?

[theblackmamba]

Nesse caso usei para quando aparecer [tex3]\log\,10[/tex3] termos um valor conhecido, facilitando a conta.

Se tivermos por exemplo:

[tex3]2^x=3[/tex3]

Passaríamos o logaritmo na base [tex3]3[/tex3]:

[tex3]x \cdot \log_{3}\,2=\log_3\,3[/tex3]
[tex3]x=\frac{1}{\log_3\,2}[/tex3]

Abraço.

[Brunojasp]

Obrigado! =D
Mas por exemplo, quando eu tenho alguma coisa envolvendo algum expoente, como eu consigo saber a base que eu tenho que usar no logaritmo ?