Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica: Distância de um Ponto à uma Reta

[João Fláudio Nascimento]

Determine os pontos da reta [tex3]r: y= 2x + 1[/tex3] que estão à distância de [tex3]2[/tex3] da reta [tex3]s: 3x - 2y + 1 = 0 .[/tex3]

Abraço a todos.

[Inútil Caramelo]

Olá, João.

Como esses pontos pertencem à reta [tex3]r[/tex3], então suas coordenadas obedecem a equação dessa reta e assim podemos escrevê-las como [tex3]P(x,\text{ }2x+1)[/tex3].
A distância desses pontos à reta [tex3]s[/tex3] é dada por
[tex3]d_{P,s}=\left|\frac{3x_P-2y_P+1}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}\right|\Rightarrow 2=\left|\frac{3\cdot x-2 \cdot (2x+1)+1}{\sqrt{13}}\right|\Rightarrow \left|3x-4x-2+1\right|=2\sqrt{13}\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \left| -x-1\right|=2\sqrt{13}[/tex3]

Resolvendo essa equação modular, teremos
[tex3]x=-1-2\sqrt{13}\text{ ou }x=2\sqrt{13}-1[/tex3]

Para [tex3]x=-1-2\sqrt{13}[/tex3]:
[tex3]y=2x+1=2(-1-2\sqrt{13})+1=-2-4\sqrt{13}+1=-1-4\sqrt{13}[/tex3]

Para [tex3]x=2\sqrt{13}-1[/tex3]:
[tex3]y=2(2\sqrt{13}-1)+1=4\sqrt{13}-2+1=4\sqrt{13}-1[/tex3]

Portanto, os pontos são [tex3]\left(-1-2\sqrt{13},\text{ }-1-4\sqrt{13}\right)[/tex3] e [tex3]\left(2\sqrt{13}-1,\text{ }4\sqrt{13}-1\right)[/tex3]

Abraço!

[João Fláudio Nascimento]

Valeu colega! essa foi boa, não foi? Será que você me ajudaria nesta outra, ja faz tempo que eu tento e não consigo.
Dois lados de um paralelogramo ABCD estão contidos nas retas r: 2x + y - 3=0
e s: x + y - 2 = 0. Dado o vértice A ( -3, 4 ), determine B, C e D

[Inútil Caramelo]

Opa, João!

Podemos verificar que o ponto A não pertence a nenhuma das duas retas dadas (r e s), pois ao substituir as os valores coordenadas de A nas equações das retas, encontramos igualdades falsas, o que significa que a interseção delas é o vértice D oposto a A.

Vamos primeiro calcular as equações reduzidas das duas retas:
-reta r:
[tex3]2x+y-3=0 \Rightarrow y=-2x+3[/tex3]
-reta s:
[tex3]x+y-2=0\Rightarrow y=-x+2[/tex3]

Vamos agora calcular o ponto de interseção dessas retas, que é o próprio vértice D, igualando as duas equações:
[tex3]\text{ }-2x_D+3=-x_D+2\Rightarrow x_D=1[/tex3]
Substituindo em uma das equações para encontrarmos o valor de [tex3]y_D[/tex3]:
[tex3]y_D=-2x_D+3=-2\cdot 1+3\Rightarrow y_D=1[/tex3]
E assim [tex3]D=\left(1,\text{ }1\right)[/tex3]

Como a é paralela a r, então [tex3]m_a=m_r\Rightarrow m_a=-2[/tex3].
Escrevendo a equação da reta a, sabendo que ela contém o ponto A(-3, 4):
[tex3]y=m_ax+b\Rightarrow 4=-2\cdot (-3)+b\Rightarrow b=-2[/tex3]
E assim a equação da reta a é [tex3]y=-2x-2[/tex3]

Faremos a mesma coisa com a reta b, sabendo que ela é paralela à reta s ([tex3]m_b=m_s=-1[/tex3]) e contém o ponto A(-3, 4):
[tex3]y=m_bx+b\Rightarrow 4=-1\cdot (-3)+b\Rightarrow b=1[/tex3]
E assim a equação da reta b é [tex3]y=-x+1[/tex3]

Faremos agora as interseções das retas para encontrar as coordenadas dos pontos procuradas.

O ponto B é interseção de a e s:
[tex3]\text{ }-2x_B-2=-x_B+2\Rightarrow x_B=-4[/tex3]
E substituindo em qualquer uma das duas equações para encontrar o [tex3]y_B[/tex3]:
[tex3]y_B=-2x_B-2=-2\cdot (-4)-2\Rightarrow y_B=6[/tex3]
E assim [tex3]B=\left(-4,\text{ }6\right)[/tex3].

Por último...
O ponto C é interseção de b e r:
[tex3]-x_C+1=-2x_C+3\Rightarrow x_C=2[/tex3]
Substituindo em qualquer uma das duas equações:
[tex3]\text{ }y_C=-x_C+1=-2+1\Rightarrow y_C=-1[/tex3]
E assim [tex3]=\left(2,\text{ }-1\right)[/tex3].

[Inútil Caramelo]

Opa, João!

Podemos verificar que o ponto A não pertence a nenhuma das duas retas dadas (r e s), pois ao substituir as os valores coordenadas de A nas equações das retas, encontramos igualdades falsas, o que significa que a interseção delas é o vértice D oposto a A.

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Vamos primeiro calcular as equações reduzidas das duas retas:
-reta r:
[tex3]2x+y-3=0 \Rightarrow y=-2x+3[/tex3]
-reta s:
[tex3]x+y-2=0\Rightarrow y=-x+2[/tex3]

Vamos agora calcular o ponto de interseção dessas retas, que é o próprio vértice D, igualando as duas equações:
[tex3]\text{ }-2x_D+3=-x_D+2\Rightarrow x_D=1[/tex3]
Substituindo em uma das equações para encontrarmos o valor de [tex3]y_D[/tex3]:
[tex3]y_D=-2x_D+3=-2\cdot 1+3\Rightarrow y_D=1[/tex3]
E assim [tex3]D=\left(1,\text{ }1\right)[/tex3]

Como a é paralela a r, então [tex3]m_a=m_r\Rightarrow m_a=-2[/tex3].
Escrevendo a equação da reta a, sabendo que ela contém o ponto A(-3, 4):
[tex3]y=m_ax+b\Rightarrow 4=-2\cdot (-3)+b\Rightarrow b=-2[/tex3]
E assim a equação da reta a é [tex3]y=-2x-2[/tex3]

Faremos a mesma coisa com a reta b, sabendo que ela é paralela à reta s ([tex3]m_b=m_s=-1[/tex3]) e contém o ponto A(-3, 4):
[tex3]y=m_bx+b\Rightarrow 4=-1\cdot (-3)+b\Rightarrow b=1[/tex3]
E assim a equação da reta b é [tex3]y=-x+1[/tex3]

Faremos agora as interseções das retas para encontrar as coordenadas dos pontos procuradas.

O ponto B é interseção de a e s:
[tex3]\text{ }-2x_B-2=-x_B+2\Rightarrow x_B=-4[/tex3]
E substituindo em qualquer uma das duas equações para encontrar o [tex3]y_B[/tex3]:
[tex3]y_B=-2x_B-2=-2\cdot (-4)-2\Rightarrow y_B=6[/tex3]
E assim [tex3]B=\left(-4,\text{ }6\right)[/tex3].

Por último...
O ponto C é interseção de b e r:
[tex3]\text{ }-x_C+1=-2x_C+3\Rightarrow x_C=2[/tex3]
Substituindo em qualquer uma das duas equações:
[tex3]y_C=-x_C+1=-2+1\Rightarrow y_C=-1[/tex3]
E assim [tex3]C=\left(2,\text{ }-1\right)[/tex3].

Abraço!