Pré-Vestibular ⇒ (CEFET-PR) Geometria Analítica na Circunferência Tópico resolvido

[fonsecas]

Seja a circunferência [tex3]x^2+y^2-2x-4y-20=0[/tex3] e a reta [tex3]r\,\,:\,\,3x+4y+k=0[/tex3]. Se a reta [tex3]r[/tex3] determina sobre a circunferência uma corda de comprimento [tex3]8[/tex3], então [tex3]k[/tex3] deverá ser igual a:

a) [tex3]3[/tex3] ou [tex3]-26[/tex3]
b) [tex3]-5[/tex3] ou [tex3]31[/tex3]
c) [tex3]-4[/tex3] ou [tex3]29[/tex3]
d) [tex3]4[/tex3] ou [tex3]-26[/tex3]
e) [tex3]-3[/tex3] ou [tex3]25[/tex3]

Resposta

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resposta:4 ou -26

[theblackmamba]

Olá fonsecas,

corda.png (13.24 KiB) Exibido 1450 vezes

Primeiramente vamos descobrir as coordenadas do centro comparando com a equação estendida da circunferência:
[tex3]x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2=r^2[/tex3]
[tex3]x^2+y^2-2x-4y-20=0[/tex3]

[tex3]O=\left(\frac{-2}{-2},\,\frac{-4}{-2}\right)=(1,2)[/tex3]

E também a medida do raio:
[tex3]r^2=1^2+2^2-(-20)=25[/tex3]
[tex3]r=5[/tex3]

Uma propriedade importante:
Quanto traçamos uma reta partindo do centro ela "corta" a corda exatamente na metade e também perpendicularmente.

[tex3]OB=5[/tex3] (raio)
[tex3]BC=\frac{8}{2}=4[/tex3] (metade da corda)

Como o triângulo OBC é retângulo temos [tex3]OC=3[/tex3]

Usando a distância entre ponto e reta:

[tex3]d_{OC}=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3], sendo [tex3]x,y[/tex3] as coordenadas do centro e [tex3]a,b,c[/tex3] os coeficientes da reta.
[tex3]3=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 2+k|}{\sqrt{3^2+4^2}}[/tex3]
[tex3]15=|11+k|[/tex3]

1ºcaso: [tex3]11+k \geq 0[/tex3]

[tex3]11+k=15\,\,\Rightarrow\,\,\boxed{k=4}[/tex3]

2ºcaso: [tex3]11+k<0[/tex3]

[tex3]11+k=-15\,\,\Rightarrow\,\,\boxed{k=-26}[/tex3]

[fonsecas]

obrigado.a sua explicação me ajudou muito