Pré-Vestibular ⇒ (PUCSP - 1985) Determinantes Tópico resolvido

[b4]

O determinante [tex3]\left|\begin{array}{rrrr}x & 0 & 0 & 3 \\-1 & x & 0 & 0\\0 & -1 & x & 1\\0 & 0 & -1 & -2\end{array}\right|[/tex3] representa o polinômio:

a) [tex3]{-}2x^3+x^2+3[/tex3]
b) [tex3]{-}2x^3-x^2+3[/tex3]
c) [tex3]3x^3+x-2[/tex3]
d) [tex3]2x^3-x^2-3[/tex3]
e) [tex3]2x^3-x^2+3[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá b4,

Normalmente, quando pede-se o determinante de uma matriz de ordem [tex3]4,[/tex3] o método a ser utilizado é a Regra de Chió para reduzir a ordem do determinante.

Regra de Chió:

• [tex3]\diamond[/tex3] Primeiro devemos fazer com que [tex3]a_{11}=1,[/tex3] (caso [tex3]a_{11}\ne 1[/tex3]);
  [tex3]\diamond[/tex3] Excluímos a 1ª linha e a 1ª coluna do determinante;
  [tex3]\diamond[/tex3] Subtraímos de cada elemento do novo determinante o produto dos elementos que estavam na linha e na coluna excluídas;

Fatorando [tex3](-1)[/tex3] na 1ª coluna, vem

• [tex3]\left|\begin{array}{rrrr}x & 0 & 0 & 3 \\-1 & x & 0 & 0\\0 & -1 & x & 1\\0 & 0 & -1 & -2\end{array}\right|=(-1)\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-x & 0 & 0 & 3 \\1 & x & 0 & 0\\0 & -1 & x & 1\\0 & 0 & -1 & -2\end{array}\right|[/tex3]

Permutando as duas primeiras linhas, obtemos

• [tex3](-1)\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-x & 0 & 0 & 3 \\1 & x & 0 & 0\\0 & -1 & x & 1\\0 & 0 & -1 & -2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}1 & x & 0 & 0 \\ -x & 0 & 0 & 3\\0 & -1 & x & 1\\0 & 0 & -1 & -2\end{array}\right|[/tex3]

Portanto,

[tex3]\left|\begin{array}{ccc}0-(-x)\cdot x & 0-(-x)\cdot 0 & 3-(-x)\cdot 0 \\ -1-0\cdot x & \text{ }x-0\cdot 0 & 1-0\cdot 0 \\ \text{ }0-0\cdot x & -1-0\cdot 0 & -2-0\cdot 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}x^2 & 0 & 3 \\ -1 & x & 1 \\ 0 & -1 & -2\end{array}\right|=[/tex3] [tex3]-2x^3+x^2+3[/tex3]

[lndrj1]

Professor quando o senhor colocou o -1 para fora do determinante, na primeira linha e primeira coluna ficou -x, pq ficou -x?

2ª pergunta. Professor o senhor permutou a primeira linha com a segunda linha por causa do -1? Fora do determinante, ja que se trocando 2 linhas entre si no determinante ele muda de sinal.

3ª pergunta. Se eu não fizesse isso, teria que multiplicar cada elemento do determinante por -1?

[cajuADMIN]

Olá Indrj1,

1) Além de ficar [tex3]-x[/tex3], note que o [tex3]-1[/tex3] da segunda linha ficou [tex3]1[/tex3]. Isso acontece pois ao multiplicar uma linha ou uma coluna por qualquer número, o determinante fica multiplicado por esse número também.
Ou seja, quando eu multipliquei a primeira coluna por [tex3]-1[/tex3] (trocou o sinal dos elementos desta coluna), eu multipliquei novamente o determinante por [tex3](-1)[/tex3], pois assim o resultado final não iria modificar (multiplicar duas vezes por [tex3]-1[/tex3] é a mesma coisa que multiplicar por [tex3](-1)\cdot(-1)=1[/tex3]).

2) Permutei as duas primeiras linhas pois a regra de Chió exige que o elemento [tex3]a_{11}[/tex3] seja [tex3]1[/tex3]. O elemento igual a [tex3]1[/tex3] mais próximo de [tex3]a_{11}[/tex3] é o da segunda linha, por isso efetuei a troca de linhas.
Como você mesmo disse, o determinante fica multiplicado por [tex3]-1[/tex3] ao fazer isso, como já tinha [tex3](-1)[/tex3] fora do determinante, temos novamente a multiplicação [tex3](-1)\cdot(-1)=1[/tex3] (por isso o [tex3](-1)[/tex3] desapareceu).

3) Acredito que já foi respondido na segunda pergunta.

Grande abraço,
Prof. Caju

[lndrj1]

Mas é preciso fatorar por -1 mesmo? Se não, pq o senhor fatorou, qual foi a visão?


E se caso não tivesse -1 multiplicando o determinante, oq eu teria que fazer para obter a11 igual a 1, sem que haja nenhuma alteração??

[cajuADMIN]

A visão é obter [tex3]a_{11}=1[/tex3].

Existem inúmeras maneiras de atingir este objetivo nesta matriz. A maneira que eu fiz é uma das opções.

Você poderia, por exemplo, trocar a terceira linha com a primeira e, depois, a quarta coluna com a primeira coluna. Desta forma, você multiplicaria por [tex3](-1)[/tex3] duas vezes e obteria [tex3]a_{11}=1[/tex3] da mesma forma.

[lndrj1]

muiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiito obrigado mestre, me ajudou muito

[lndrj1]

Mestre se por acaso o a11 ja fosse -1, eu multiplicaria a primeira coluna por -1, dai obteria 1, eu não precisaria multiplicar o determinante por -1 nao né?

[cajuADMIN]

Olá Indrj1,

Sim, se você multiplicar a primeira coluna por [tex3]-1[/tex3] você deve multiplicar o determinante por [tex3]-1[/tex3].

O que você pode estar confundindo é quando você faz duas operações que exigem colocar o [tex3]-1[/tex3] a frente do determinante o [tex3]-1[/tex3] vira [tex3]+1[/tex3] pois [tex3](-1)\cdot(-1)=+1[/tex3]. Ou seja, na verdade o [tex3]-1[/tex3] está lá, mas aparece duas vezes, por isso "desaparece".

Grande abraço,
Prof. Caju