Pré-Vestibular ⇒ (UDESC-SC) Análise Combinatória Tópico resolvido

[MatthewLima]

Após a escolha do Brasil como país sede da Copa do Mundo de Futebol de 2014, dezessete capitais brasileiras se
candidataram para sediar os jogos do campeonato mundial. A Tabela 2, abaixo, apresenta a relação das cidades inscritas,
de acordo com cada região.

Tabela 2: Cidades candidatas a sede, por
região.

Analise.jpg (33.63 KiB) Exibido 3525 vezes

Suponha que, dentre os demais critérios técnicos exigidos pela FIFA (Fédération Internationale de Football Association),
sejam escolhidas doze sedes de forma que cada região tenha alguma cidade representante, além das seguintes
condições:

I. três cidades serão obrigatoriamente da região Sudeste, devido às condições de infraestrutura já existentes e a sua
localização geográfica central.

II. exatamente duas cidades serão da região Nordeste, pois há o objetivo de explorar o potencial turístico do litoral
nordestino.

III. pelo menos duas cidades serão da região Norte, com o intuito de valorizar a floresta amazônica e divulgar sua
preservação.

IV. no máximo duas cidades serão escolhidas na região Sul, devido à proximidade geográfica de suas localizações.

V. as demais cidades serão da região Centro-Oeste.

Obedecendo-se a estes critérios, a quantidade de possibilidades distintas de se escolherem as 12 cidades sede da Copa do
Mundo de Futebol é representada pela alternativa:

a) 450

b) 270

c) 324

d) 162

e) 126

[Vinícius]

Imagem 20130211163204.png (16.02 KiB) Exibido 3523 vezes

[tex3]$\[\binom{3}{3}\binom{4}{2} \binom{3}{2}\binom{3}{1}\binom{4}{4}+\binom{3}{3}\binom{4}{2} \binom{3}{2}\binom{3}{2}\binom{4}{3}+\binom{3}{3}\binom{4}{2} \binom{3}{3}\binom{3}{1}\binom{4}{3}+\binom{3}{3}\binom{4}{2} \binom{3}{3}\binom{3}{2}\binom{4}{2}\][/tex3]

[tex3]1\cdot6\cdot3\cdot3\cdot1+1\cdot6\cdot3\cdot3\cdot4+1\cdot6\cdot1\cdot3\cdot4+1\cdot6\cdot1\cdot3\cdot6[/tex3]

[tex3]54+216+72+108[/tex3]

[tex3]450[/tex3]

[MatthewLima]

Desculpa... Não entendi exatamente NADA (!) do que você acabou de fazer... Eu sou novo nesse assunto, e além de eu mesmo não tê-lo "pego" direito nós ainda não nos aprofundamos nele como uma questão dessa, me explique, por favor, muito obrigado por responder!

[ALDRINMOD]

Por favor, antes de postar leia as Regras do Fórum:

1ª Regra - Não será tolerado qualquer tipo de palavreado de baixo calão nas mensagens, ofensas e provocações nas conversações. Se alguém perceber tais comportamentos, deverá comunicar por mp (mensagem privada) um Moderador ou Administrador do fórum para que as medidas cabíveis sejam tomadas.

2ª Regra - Os membros não deverão agir como Moderadores. Se tal atitude for percebida, o membro receberá uma advertência. Se quiser ajudar, avise um Moderador ou Administrador por mp.

3ª Regra - Os títulos dos tópicos deverão informar, sempre que possível, a fonte, o ano e o assunto do qual se trata o problema. Exemplo: (FUVEST – 2008) Logaritmos.
Títulos como: “urgente!,” “ajuda!”, “Help!”, “questão difícil”, “problema” serão editados por um Moderador sem aviso prévio aos autores dos tópicos.
Se você está com dificuldade para resolver um problema, informe essa dificuldade no corpo da sua mensagem, não no Título do tópico.

4ª Regra - Utilize a fonte tamanho padrão nas suas mensagens.

5ª Regra - Não use letras MAIÚSCULAS nos títulos dos tópicos nem nas mensagens. Você pode ajustar a visualização das mensagens no seu monitor ou no botão .

6ª Regra - Não faça mensagens muito coloridas, use Smilies com moderação.

7ª Regra - Não é permitido postar uma mesma mensagem em dois tópicos diferentes (isso é chamado flood), seja no mesmo fórum ou em fóruns diferentes. Sua mensagem será respondida da mesma forma.

8ª Regra - Não poste vários problemas em um mesmo tópico. Crie um tópico para cada problema.

9ª Regra - Não poste a mesma questão em mais de um fórum, nem duas vezes a mesma questão no mesmo fórum (mesmo em datas diferentes).
Por exemplo, postar a mesma questão no fórum "Pré-Vestibular" e no fórum "Ensino Médio". Um moderador irá apagar todas as repetidas, deixando somente a que for mais antiga.

10ª Regra - Não crie um novo tópico para responder a um tópico já existente.

11ª Regra - Não é permitido anexar figuras hospedadas em servidores externos. O fórum dispõe de uma ferramenta para inserção de figuras. O moderador que constatar essa situação deletará a mensagem e informará o membro sobre a situação.
Clique aqui para saber como inserir figuras nas mensagens.

12ª Regra - Não será permitido postar mensagens em que a informação a ser passada consta somente de um link para um site externo. Sugerimos que, se for uma solução hospedada em outro site, copie a solução (ou interprete com suas palavras) e indique ao final a fonte (daí pode ser link).
Esta atitude ajuda o fórum a ser independente de outros sites. Pois, assim, não iremos depender da continuação do site externo para que determinadas soluções permaneçam no fórum (mesmo argumento para imagens externas).

13ª Regra - Não é admitida a inserção de figuras com tabelas, fórmulas ou qualquer conteúdo que possa ser expresso através do teclado ou do recurso disponível para esses fins no fórum. Para fórmulas, utilize preferencialmente o editor TeX.

14ª Regra - Não é permitida propaganda de nenhuma espécie no fórum. Qualquer mensagem com esse tipo de conteúdo será imediatamente apagada e o membro será advertido.

[Vinícius]

Se você ainda não estudou Análise Combinatória, está tentando pular etapas... Ninguém aprende algum assunto começando por questões longas como a que você postou.

De qualquer forma, explicarei o que fiz:
Usei uma árvore para mostrar todas as possibilidades: obrigatoriamente serão 3 estados do Sudeste e 2 do Nordeste; para os estados do Norte, pode haver 2 ou 3; para os estados do Sul, pode haver 1 ou 2. Os estados do Centro-Oeste são tantos quanto façam o total ser 12.

Sendo [tex3]a!=1\cdot 2\cdot 3\cdots a[/tex3] para [tex3]a>0[/tex3] e [tex3]a!=1[/tex3] para [tex3]a=0[/tex3], lembre-se de que [tex3]\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}[/tex3] representa o número de possibilidades de escolher [tex3]k[/tex3] elementos dentro de [tex3]n[/tex3] disponíveis, sem considerar a ordem. Por exemplo: de quantas formas podemos escolher duas estações do ano? Resposta: [tex3]\binom{4}{2}=\frac{4!}{(4-2)!\cdot 2!}=\frac{4\cdot 3\cdot \cancel{2!}}{\cancel{2!}\cdot 2\cdot 1}=6[/tex3]. (No caso, como são poucas, podemos verificar listando todas as possibilidades: p/v, p/o, p/i, v/o, v/i, o/i.)

Há, ainda, o princípio multiplicativo. Por exemplo: de quantas formas podemos escolher dois dias da semana e um período (matutino, vespertino ou noturno) para exibir uma apresentação? Resposta: [tex3]\binom{7}{2}\cdot\binom{3}{1}=\frac{7!}{5!\cdot 2!}\cdot 3=63[/tex3].

Na sua questão, usei esse princípio na escolha das cidades de cada região.

Sugiro reler a teoria e fazer exercícios básicos (do seu livro, da Internet, etc.) de Análise Combinatória antes de tentar entender uma questão como a que você postou. É impossível começar por exercícios mais elaborados.

Bons estudos.

[MatthewLima]

Desculpe pelo problema no titulo e pela imagem, primeira vez que posto AQUI e nunca tive esse problema.

Enfim, obrigado por me responder, mas eu não estou pulando assuntos, eu já entrei em análise combinatória mas ainda não chegamos nesse "nível". Por que eu estou fazendo esse tipo de questão? Professores passaram uma apostila de questões pro Carnaval, e essa questão está nela, então eu não fazia ideia de como resolver ela se ainda não chegamos nessa parte do assunto. Eu procurei e entendi a sua explicação, fui fazendo pelo primeiro modo. Mas estou com 1 dúvida: Como eu resolvo uma questão pelo segundo modo? O modo que você disse que fez. Se eu fizer pelo primeiro modo, vai ter que ser 1 por 1, e acho que você não deve ter feito 1 por 1...

Por exemplo: [tex3]\left(\frac{3}{3}\right) = \frac {3!}{(3-3)!3!} = 1[/tex3]
E assim por diante, fazendo de 1 por 1...

Obrigado!

[Vinícius]

Você entendeu como chegar até aqui?

[tex3]$\[\binom{3}{3}\binom{4}{2} \binom{3}{2}\binom{3}{1}\binom{4}{4}+\binom{3}{3}\binom{4}{2} \binom{3}{2}\binom{3}{2}\binom{4}{3}+\binom{3}{3}\binom{4}{2} \binom{3}{3}\binom{3}{1}\binom{4}{3}+\binom{3}{3}\binom{4}{2} \binom{3}{3}\binom{3}{2}\binom{4}{2}\][/tex3]

Observe que:
1) O número binomial não tem barra de fração.
2) Há várias propriedades e consequências da definição dos números binomiais, algumas delas:

[tex3]\binom{a}{0}=\binom{a}{a}=1[/tex3]
Exemplos: [tex3]\binom{457}{457}=1[/tex3] e [tex3]\binom{698}{0}=1[/tex3]


[tex3]\binom{a}{1}=\binom{a}{a-1}=a[/tex3]
Exemplos: [tex3]\binom{312}{311}=312[/tex3] e [tex3]\binom{709}{1}=709[/tex3]


[tex3]\binom{a}{m}=\binom{a}{a-m}[/tex3]
Exemplos: [tex3]\binom{580}{12}=\binom{580}{568}[/tex3] e [tex3]\binom{123}{23}=\binom{123}{100}[/tex3]


[tex3]\binom{a}{b}=\frac{a\cdot (a-1)\cdot (a-2)\cdots (a-b+1)}{b\cdot (b-1)\cdot (b-2)\cdots 1}[/tex3]
Note que há [tex3]b[/tex3] fatores no numerador e [tex3]b[/tex3] fatores no denominador.
Exemplo: [tex3]\binom{400}{3}=\frac{400\cdot 399\cdot 398}{3\cdot 2\cdot 1}=10586800[/tex3]
Quando [tex3]b[/tex3] é maior que a metade de [tex3]a[/tex3], convém utilizar a propriedade anterior.
Exemplo: [tex3]\binom{30}{26}=\binom{30}{30-26}=\binom{30}{4}=\frac{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=27405[/tex3]

(As demais propriedades envolvem o triângulo de Pascal e não são úteis para esta questão.)

[MatthewLima]

Sim, entendi como chegar nos números binominais (uma parte mais aprofundada da Análise Combinatória, creio eu, por isso tava difícil fazer essa questão), e obrigado por me dar esses "macetes", mas o que eu gostaria de saber é como usar a fórmula que você disse que usou pra resolver a questão:

[tex3]\binom{7}{2}\cdot\binom{3}{1}=\frac{7!}{5!\cdot 2!}\cdot 3=63[/tex3]

Gostaria de saber o que eu faço com cada número que ta ai, como eu resolvo [tex3]\binom{7}{2}\cdot\binom{3}{1}[/tex3], pra onde eles vão? Essa fórmula que estou interessado em saber, já que você usou ela, deve ser bem mais rápido do que resolver com a outra, porque com a outra nós temos que resolver de 1 por 1, e tem bastante binômios lá.

Obrigado de novo, desculpa tantas perguntas e gastar o seu tempo.

[Vinícius]

Gostaria de sugerir que não ponha o texto inteiro em roxo ou qualquer cor diferente da padrão... Essa cor que você escolheu, especificamente, não contrasta com o azul do fórum...

Não sei se entendi bem o que você quer saber, mas vou tentar explicar: quando há um produto de números binomiais, não há o que fazer a não ser usar a definição ou as propriedades. Não é necessário fazer um de cada vez, é possível armar e resolver em uma linha só, por exemplo:

[tex3]\binom{5}{3}\cdot\binom{8}{8}\cdot\binom{40}{3}\cdot \binom{3}{1}=\frac{5\cdot \bcancel{4}\cdot \cancel{3}}{\cancel{3}\cdot \bcancel{2}\cdot 1}\cdot 1\cdot \frac{40\cdot 39\cdot 38}{\xcancel{3}\cdot \bcancel{2}\cdot 1}\cdot \xcancel{3}=296400[/tex3]

Se quiser usar diretamente a fórmula, perceba que é conveniente desenvolver o fatorial maior até chegar ao mais próximo. É possível sempre desenvolver até onde quisermos, mas é útil sempre procurar o mais conveniente.

Um exemplo:

[tex3]7! = 7\cdot 6\cdot 5\cdot \underbrace{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}_{4!}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4![/tex3]

Então, para calcular [tex3]\binom{7}{3}=\frac{7!}{{\color{red}4!}\cdot {\color{blue}3!}}[/tex3], desenvolve-se 7! apenas até chegar ao 4!, e o outro até o 1 (pois não há nada a fazer):

[tex3]... = \frac{7\cdot \bcancel{6}\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{\cancel{\color{red}4!}\cdot{\bcancel{\color{blue}3\cdot 2\cdot 1}} }=35[/tex3]

No outro exemplo:

[tex3]\[\binom{5}{3}\cdot\binom{8}{8}\cdot\binom{40}{3}\cdot \binom{3}{1}=\]\[=\frac{5!}{2!\cdot 3!}\cdot\frac{\cancel{8!}}{0!\cdot \cancel{8!}}\cdot\frac{40!}{37!\cdot 3!}\cdot\frac{3!}{2!\cdot 1!}=\]=\frac{5\cdot {\color{green}\cancel{\color{black}4}}\cdot \cancel{3!}}{{\color{green}\cancel{\color{black}2\cdot 1}}\cdot \cancel{3!}}\cdot 1\cdot \frac{40\cdot 39\cdot 38\cdot \cancel{37!}}{\cancel{37!}\cdot \bcancel{3}\cdot \color{green}\cancel{\color{black}2\cdot 1}}\cdot\frac{\bcancel{3}\cdot \cancel{2!}}{\cancel{2!}\cdot 1}=296400[/tex3]

[MatthewLima]

Isso, era exatamente isso que eu queria saber! Eu fiz tudo direto e deu o mesmo resultado dessa conta: [tex3]$\[\binom{3}{3}\binom{4}{2} \binom{3}{2}\binom{3}{1}\binom{4}{4}+\binom{3}{3}\binom{4}{2} \binom{3}{2}\binom{3}{2}\binom{4}{3}+\binom{3}{3}\binom{4}{2} \binom{3}{3}\binom{3}{1}\binom{4}{3}+\binom{3}{3}\binom{4}{2} \binom{3}{3}\binom{3}{2}\binom{4}{2}\][/tex3]

R= 450

Muito obrigado, de novo! Desculpa qualquer problema e pelas advertências, é que sou acostumado em postar em outros fóruns daquele jeito, mas aqui não pode algumas coisas. Enfim, muito obrigado, de verdade!