IME / ITA ⇒ (IME - 1991) Matrizes Tópico resolvido

[jrneliodias]

Determine todas as matrizes X reais, de dimensões 2 x 2, tais que AX=XA, para toda matriz A real 2 x 2

[Vinícius]

[tex3]XA=AX\iff XA-AX=0_2[/tex3]

[tex3]\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}[/tex3]

[tex3]\begin{bmatrix}x_{11}a_{11}+x_{12}a_{21}&x_{11}a_{12}+x_{12}a_{22}\\x_{21}a_{11}+x_{22}a_{21}&x_{21}a_{22}+x_{22}a_{22}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}x_{11}a_{11}+x_{21}a_{12}&x_{12}a_{11}+x_{22}a_{12}\\x_{11}a_{21}+x_{12}a_{22}&x_{12}a_{21}+x_{22}a_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}[/tex3]

[tex3]\forall (a_1, a_2, a_3, a_4) \in \mathbb{R}^4 : \begin{cases} x_{12} a_{21} - x_{21} a_{12} = 0 \\ -x_{12} a_{11} + \left(x_{11} - x_{22}\right) a_{12} + x_{22} a_{12} = 0 \\ x_{21} a_{11} + \left(x_{22} - x_{11}\right) a_{21} - x_{12} a_{22} = 0 \\ x_{21} a_{12} - x_{12} a_{21} = 0 \end{cases}[/tex3]

Portanto, todos os coeficientes de [tex3]a_{ij}[/tex3] devem ser nulos.

[tex3]x_{12}=x_{21}=0[/tex3]
[tex3]x_{11}-x_{22}=0\iff x_{11}=x_{22}[/tex3]

[tex3]X=\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix},\quad (k\in\mathbb{R})[/tex3]

Ou, simplesmente:

[tex3]\boxed{X=k\cdot I_2,\quad (k\in\mathbb{R})}[/tex3]

[Radius]

hey pessoal,

estava pensando:

[tex3]XA=AX[/tex3]

multiplicando por [tex3]A^{-1}[/tex3] à direita nos dois lados:

[tex3]\boxed{X=AXA^{-1}}[/tex3]

Conforme me lembro de álgebra linear, essa equação é a diagonalização da matriz X.
Será que isso não ajuda a resolver o problema de forma mais sucinta?