IME / ITA ⇒ (IME - 2003) Números Complexos Tópico resolvido

[mahriana]

Seja [tex3]z[/tex3] um complexo de módulo unitário e [tex3]n[/tex3] um numero natural. Mostre que é real o complexo [tex3]w[/tex3]
dado por :

[tex3]\large w= \frac{z^n}{1+z^{2n}}[/tex3]

[poti]

Sendo [tex3]z = \cis (\theta) = e^{i \theta}[/tex3]

[tex3]w = \frac{e^{i \theta}}{1 + e^{2i \theta}} \cdot \frac{e^{-i \theta}}{e^{-i \theta}} = \frac{1}{e^{-i \theta} + e^{i \theta}}[/tex3]

Voltando para a trigonometria:

[tex3]w = \frac{1}{\cis (\theta) + \cis (-\theta)} = \frac{1}{\cos \theta + i\sen(\theta) + \cos \theta - i\sen\theta} = \frac{1}{2\cos \theta}[/tex3]

Mas:

[tex3]\frac{1}{2\cos \theta} \in \mathbb{R}, \ \forall \theta \in \mathbb{R}[/tex3]

Portanto:

[tex3]w \in \mathbb{R}[/tex3], CQD

Abraço!