Ensino Médio ⇒ Determinante nesta Matriz ? Tópico resolvido

[marquesjadson]

Qual o valor determinante da matriz [tex3]\begin{bmatrix}
a & b \\
b & a\\

\end{bmatrix}[/tex3], sendo [tex3]2a=e^x + e^{-e}[/tex3] e [tex3]2b = e^x -e^{-x}[/tex3] ?
Alguém porfavor poderia resolver está questão ?

[Cássio]

Acho que você deve ter percebido que o determinante será [tex3]a^2-b^2.[/tex3]

Mas fatorando, temos que [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b).[/tex3]

Pelos dados da questão, temos:

[tex3]2a=e^x+e^{-x}\Rightarrow a=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}.[/tex3]

Analogamente:

[tex3]b=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}.[/tex3]

logo: [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)=\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}+\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left( \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}-\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)[/tex3]

[tex3]=\left(\dfrac{2e^x}{2}\right)\left(\dfrac{2e^{-x}}{2}\right)=e^x\cdot e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1.[/tex3]