Ensino Superior ⇒ Integrais - Volume de um Sólido de Revolução Tópico resolvido

[ClaudiaF]

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas

[tex3]y=\sec x\\y=1\\x=-1\\x=1[/tex3]

em torno do eixo x. Faça um esboço da região

[Vinisth]

Olá ClaudiaF

Sempre, poste o gabarito se tiver.

Sec.png (14.75 KiB) Exibido 2210 vezes

[tex3]V=\int A(x).dx[/tex3]

A área da secção transversal da região cinza é:
[tex3]\boxed{A(x)=\pi\cdot\sec^2(x)-\pi}[/tex3]
Então :
[tex3]V=\int_{-1}^1 \pi[\sec^2(x)-1].dx[/tex3]
[tex3]V=2\pi\int_{0}^1[\sec^2(x)-1].dx=2\pi[\tan(x)-x]_0^1=\boxed{2\pi[\tan(1)-1]\ u.v}[/tex3]
Usando calculadora para aproximar temos :

[tex3]\boxed{V\approx 3.5023 \ u.v}[/tex3]

Abraço.

[danmat]

Olá ClaudiaF,

Para resolvermos esta questão utilizaremos o métodos dos anéis circulares. Primeiramente, devemos observar que para
[tex3]x \in [-1,1][/tex3], então

[tex3]f(x) = sec(x) \geq g(x) = 1[/tex3]

Assim

[tex3]V = \pi \int_{-1}^{1} [f(x)^2-g(x)^2] dx[/tex3]

[tex3]V = \pi \int_{-1}^{1} [sec(x)^2-1] dx[/tex3]

[tex3]V = \pi \int_{-1}^{1} [sec(x)^2-1] dx[/tex3]

[tex3]V = \pi \int_{-1}^{1} [tg(x)^2] dx[/tex3]


Como [tex3]\int tg(x)^2 dx = tg(x) - x + C[/tex3], então


[tex3]V = \pi [(tg(1) - 1) - (tg(-1) + 1)][/tex3]

[tex3]V = \pi [(1,557408 - 1) - (-1,557408 + 1)][/tex3]

[tex3]V = 1,114815 \pi \ u.v.[/tex3]

Espero ter ajudado...