Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 1998) Geometria Plana: Área de Figuras Planas Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Na figura abaixo, suponto [tex3]\pi=3,[/tex3] a área do círculo inscrito no triângulo isósceles é [tex3]108.[/tex3] Então, a área da região assinalada é:

• 

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[tex3]\text{a) 72 b) 80 c) 84 d) 90 e) 96}[/tex3]

[fabit]

A área procurada é a diferença entre as áreas do triângulo e do círculo.

Como [tex3]\pi r^2=108,[/tex3] segue que

• [tex3]3r^2=108\Longrightarrow r=6.[/tex3]

• 

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Os triângulos [tex3]AHO[/tex3] e [tex3]AMB[/tex3] são semelhantes, logo

• [tex3]\frac{\overline{AB}}{\overline{AO}}=\frac{\overline{MB}}{\overline{HO}}.[/tex3]

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo [tex3]ABM[/tex3] encontramos

• [tex3]\overline{AB}^2=\left(\frac{2k}{3}\right)^2+\left(\frac{k}{2}\right)^2\Longrightarrow \overline{AB}=\frac{5k}{6}.[/tex3]

Além disso, [tex3]\overline{AO}=\frac{2k}{3}-r=\frac{2k-18}{3}.[/tex3] Desse modo,

• [tex3]\Large\frac{\frac{5k}{6}}{\frac{2k-18}{6}}\large=\Large\frac{\frac{k}{2}}{6}\large\Longrightarrow k=24.[/tex3]

A área do triângulo é

• [tex3]\frac{1}{2}\cdot \frac{2k}{3}\cdot k=\frac{k^2}{3}=\frac{24^2}{3}=192.[/tex3]

Portanto, a área pedida é

• [tex3]192-108=84.[/tex3]

Letra (c).