Ensino Médio ⇒ Trigonometria - Função Cossecante Tópico resolvido

[caiopfs]

É possível que tenhamos [tex3]\tg x = \cossec x[/tex3]?

Resposta

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A resposta é sim, mas gostaria de ver a demonstração. Obrigado!

[NiltonGMJr]

[tex3]\tg x =\frac{\sen x }{\cos x }\:\:e\:\:\cossec x =\frac{1}{\sen x }[/tex3]
[tex3]\frac{\sen x }{\cos x }=\frac{1}{\sen x }[/tex3]
[tex3]\sen ^{2}x=\cos x [/tex3]

Da relação fundamental:

[tex3]\sen ^{2}x+\cos ^{2}x=1\rightarrow \sen ^{2}x=1-\cos ^{2}x[/tex3]

Substituindo na equação dada:

[tex3]1-\cos ^{2}x=\cos x [/tex3]
[tex3]\cos ^{2}x+\cos x -1=0[/tex3]

De Bhaskára temos que:

[tex3]\Delta=5[/tex3]
[tex3]\cos x =\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex3]

Como [tex3]\frac{-1-\sqrt5}{2}<-1[/tex3] e [tex3]-1\leq \cos x \leq 1[/tex3] então apenas [tex3]\frac{-1+\sqrt5}{2}[/tex3] é válida pois está entre -1 e 1.

Sendo assim o valor de x que satisfaz essa equação é [tex3]\arccos \(\frac{-1+\sqrt5}{2}\)\approx51.83^{o}[/tex3]