Ensino Fundamental ⇒ Produtos Notáveis e Fatoração

[fred2366]

Se [tex3]\left(n+\frac{1}{n}\right)^2=3[/tex3], então [tex3]n^3+{\frac{1}{n^3}}[/tex3] vale:

a) [tex3]0[/tex3]
b) [tex3]3\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]6\sqrt{3}[/tex3]
d) [tex3]10\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

[Diego996]

Olá, vamos resolver.
Desenvolvendo temos:
[tex3]\left( {n + \frac{1}{n}} \right)^2 = 3 \Rightarrow n^2 + 2 + \frac{1}{{n^2 }} = 3 \Rightarrow n^2 + \frac{1}{{n^2 }} = 1[/tex3]

Além disso, lembre-se da fórmula:[tex3]x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2 )[/tex3]

Então:
[tex3]n^3 + \frac{1}{{n^3 }} = \left( {n + \frac{1}{n}} \right)\left( {n^2 - n \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{{n^2 }}} \right) = \left( {n + \frac{1}{n}} \right)\left( {n^2 + \frac{1}{{n^2 }} - 1} \right) = \left( {n + \frac{1}{n}} \right)\left( {1 - 1} \right) = 0[/tex3]

Alternativa A