Ensino Superior ⇒ Seqüências Tópico resolvido

[rean]

Ache a fórmula explicita para o n-ésimo termo da seqüência [tex3](a_n),[/tex3] onde [tex3]a_n =1+22+333+4444+\ldots+n(111\ldots 1).[/tex3]
Determine a soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos dessa seqüência.

[Rogério Moraes]

O termo geral da seqüência pode ser decomposto numa expressão contendo: uma soma dos termos de uma progressão aritmético-geométrica (P.A.G.) e uma soma dos termos de uma progressão aritmética (P.A.).

Calculando estas somas e simplificando a expressão, obtemos a seguinte fórmula para o n-ésimo termo da seqüência:

• [tex3]a_n = \frac{2 (9n - 1) 10^{n + 1} - 81 n (n + 1) + 20}{1458}[/tex3]

Agora, basta usar a fórmula do termo geral para determinar a fórmula da soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos da seqüência. Neste caso, a soma dos termos desta seqüência pode ser decomposta numa expressão contendo: uma soma de uma progressão aritmético-geométrica (P.A.G.), uma soma de uma progressão geométrica (P.G.), uma soma dos quadrados dos termos de uma P.A. e uma soma dos termos de uma progressão aritmética (P.A.).

Calculando estas as somas e simplificando a expressão, obtemos a seguinte fórmula para a soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos da seqüência:

• [tex3]S_n = \frac{2 (9n - 2) 10^{n + 2} - 9 n (27 n^2 + 81 n + 34) + 400}{13122}[/tex3]

[Vinisth]

A fórmula para o n-ésimo termo da seqüência é dada por :
[tex3]a_n = \frac{n}{9}(10^n-1)[/tex3]

A soma dos termos da seqüência é dada feita da seguinte forma.

[tex3]S_n =1+22+333+4444+\ldots+n(111\ldots 1)\cdot [/tex3]
[tex3]S_n= 1\(\frac{10^1-1}{9}\) + 2\(\frac{10^2-1}{9}\) + 3\(\frac{10^3-1}{9}\) + 4\(\frac{10^4-1}{9}\) + \cdots \\ \; = {1\over9}(1\cdot 10^1 + 2\cdot 10^2 + 3\cdot 10^3 +4\cdot 10^4 + \cdots + n\cdot 10^n - (1+2+3+4+ \cdots +n)) \\ \; \\ =\boxed{{1\over9}(1\cdot 10^1 + 2\cdot 10^2 + 3\cdot 10^3 +4\cdot 10^4 + \cdots + n\cdot 10^n - {1\over2}n(n+1))}[/tex3]

Para encontrar a soma de [tex3]1\cdot 10^1 + 2\cdot 10^2\cdots + n\cdot 10^n[/tex3], façamos :
[tex3]y = 1+ x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}[/tex3]
Derivando a equação acima :
[tex3]x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(1+ x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n)= x + 2x^2 + 3x^3 + \cdots + nx^n =\frac{nx^{n+2} - (n+1)x^{n+1} +x}{(x-1)^2}[/tex3]

Substituindo na equação destacada :
[tex3]S_n={1\over9}\(\frac{n\cdot 10^{n+2} -(n+1)\cdot 10^{n+1} + 10}{81}- {1\over2}n(n+1)\)[/tex3]
[tex3]\boxed{S_n = \frac{2 (9n - 2) 10^{n + 2} - 9 n (27 n^2 + 81 n + 34) + 400}{13122}}[/tex3]

Abraço !