Ensino Superior ⇒ Cálculo área - Integral Imprópria Tópico resolvido

[klueger]

Alguém pode ajudar?

Encontre a área sobre a curva y=[tex3]\frac{1}{x^3}[/tex3] de x=1 a x=t e calcule-a para t = 10, 100 e 1000.
Então encontre a área total abaixo desta curva para x [tex3]\geq 1[/tex3] .

Tem que usar conceitos de integral imprópria.

[Vinisth]

Olá klueger,

Pela definição de área temos :
[tex3]A=\int f(x)\cdot{\mathrm{d} x}[/tex3]
[tex3]A(t)=\int_1^t x^{-3}\cdot \mathrm{d}x=\left[-\frac{1}{2x^2}\right]_1^t=\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2t^2}\right] u.a[/tex3]
Logo:
[tex3]A(10)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(10)^2}=0,495 \ u.a[/tex3]
[tex3]A(100)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(100)^2}=0,49995\ u.a[/tex3]
[tex3]A(1000)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(1000)^2}=0,4999995 \ u.a[/tex3]

E a área abaixo da curva como pedida é simplesmente quando [tex3]t=\infty[/tex3].
[tex3]A(\infty)=\frac{1}{2}-\cancelto0{\frac{1}{2(\infty)^2}}=\frac{1}{2}[/tex3]

Um forte abraço.