IME / ITA ⇒ (ITA - 1996) Equação do 2º Grau e Soma de Arcos Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Seja a um número real tal que [tex3]a \,>\, 2(1+\sqrt 2)[/tex3] e considere a equação [tex3]x^2 -ax +a +1=0[/tex3]. Sabendo que as raízes dessa equação são as cotangentes de dois ângulos internos de um triângulo, então o terceiro ângulo interno desse triângulo vale?

Resposta

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Resp:135º

[John]

Note que a condição [tex3]a > 2(1 + \sqrt{2})[/tex3] assegura que a equação [tex3]x^{2} -ax + a + 1 = 0[/tex3] admite duas raízes reais.

Sejam [tex3]\theta _1, \theta _2[/tex3] e [tex3]\theta_3[/tex3] os ângulos internos de um triângulo.

Suponhamos que [tex3]\cotg (\theta _1)[/tex3] e [tex3]\cotg (\theta_2)[/tex3] sejam as raízes da equação [tex3]x^{2} -ax + a + 1 = 0[/tex3]. Então

[tex3]S: \cotg (\theta _1) + \cotg (\theta_2) = a[/tex3]

[tex3]P: \cotg (\theta _1)\cotg (\theta_2) = a + 1[/tex3]

Então,

[tex3]\cotg (\theta_1 + \theta_2) = \frac{\cotg (\theta _1) + \cotg (\theta_2)}{\cotg (\theta _1)\cotg (\theta_2) - 1} = \frac{a}{a+1 - 1} = 1[/tex3].

Como [tex3]\theta_1 + \theta_2 < \pi[/tex3], temo que:

[tex3]\cotg (\theta_1 + \theta_2) = 1 \Longrightarrow \theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{4}[/tex3].

Como [tex3]\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = \pi[/tex3], temos que

[tex3]\theta_3 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}[/tex3]

ou

[tex3]\theta_3 = 135^{o}[/tex3].

Beleza!!!

[paulo testoniMOD]

Hola John.

Realmente vc está de parabéns por essa excelente resolução. Bota beleza nisso.

[Karl Weierstrass]

Nada que comprometa a solução.

[tex3]\text{cotg}\, (\theta_1 + \theta_2) \,=\, \frac{\text{cotg}\,(\theta _1)\text{cotg}\,(\theta_2) \,-\, 1}{\text{cotg}\,(\theta _1) + \text{cotg}\,(\theta_2)}[/tex3]