Pré-Vestibular ⇒ (UFSC - 2013) Potenciação e Fatorial

[Juniorhw]

[tex3](1^1.1!).(2^2.2!).(3^3.3!)...(10^{10}.10!) =[/tex3] ?

Resposta

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Resposta: [tex3](10!)^{11}[/tex3]

[danjr5]

[tex3]\\ (1^1 \cdot 1!) \cdot (2^2 \cdot 2!) \cdot(3^3 \cdot 3!) \cdot ... \cdot (10^{10} \cdot 10!) = \\\\ (2^2 \cdot 2!) \cdot(3^3 \cdot 3!) \cdot ... \cdot (10^{10} \cdot 10!) = \\\\ (2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6 \cdot 7^7 \cdot 8^8 \cdot 9^9 \cdot 10^{10}) \cdot( 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdot 6! \cdot 7! \cdot 8! \cdot 9! \cdot 10!) = \\\\ 10! \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 4^3 \cdot 5^4 \cdot 6^5 \cdot 7^6 \cdot 8^7 \cdot 9^8 \cdot 10^9) \cdot (2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 10!) = \\\\ 10! \cdot 10! \cdot (3 \cdot 4^2 \cdot 5^3 \cdot 6^4 \cdot 7^5 \cdot 8^6 \cdot 9^7 \cdot 10^8) \cdot (2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 10!) = \\\\ 10! \cdot 10! \cdot \frac{10!}{2!}\cdot (4 \cdot 5^2 \cdot 6^3 \cdot 7^4 \cdot 8^5 \cdot 9^6 \cdot 10^7) \cdot (2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 10!) = \\\\\\ 10! \cdot 10! \cdot \frac{10!}{2!} \cdot \frac{10!}{3!} \cdot (5 \cdot 6^2 \cdot 7^3 \cdot 8^4 \cdot 9^5 \cdot 10^6) \cdot (2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 10!) = \\\\ ... \\\\ 10! \cdot 10! \cdot \frac{10!}{2!} \cdot \frac{10!}{3!} \cdot \frac{10!}{4!} \cdot \frac{10!}{5!} \cdot \frac{10!}{6!} \cdot \frac{10!}{7!} \cdot (9 \cdot 10^2) \cdot (2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 10!) = \\\\\\ 10! \cdot 10! \cdot \frac{10!}{2!} \cdot \frac{10!}{3!} \cdot \frac{10!}{4!} \cdot \frac{10!}{5!} \cdot \frac{10!}{6!} \cdot \frac{10!}{7!} \cdot \frac{10!}{8!} \cdot(10) \cdot (2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 10!) = \\\\\\ 10 \cdot \frac{(10!)^9}{\cancel{2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdot 6! \cdot 7! \cdot 8!}} \cdot (\cancel{2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 8!} \cdot 9! \cdot 10!) = \\\\\\ \frac{10!}{\cancel{9!}} \cdot (10!)^9 \cdot (\cancel{9!} \cdot 10!) = \\\\\\ \boxed{\boxed{10^{11}}}[/tex3]

Ufa!!
Comente qualquer dúvida!

Daniel.

[Marcos]

Olá, danjr5.Observe somente a sua resposta.

[tex3]\\ (1^1 \cdot 1!) \cdot (2^2 \cdot 2!) \cdot(3^3 \cdot 3!) \cdot ... \cdot (10^{10} \cdot 10!) = \\\\ (2^2 \cdot 2!) \cdot(3^3 \cdot 3!) \cdot ... \cdot (10^{10} \cdot 10!) = \\\\ (2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6 \cdot 7^7 \cdot 8^8 \cdot 9^9 \cdot 10^{10}) \cdot( 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdot 6! \cdot 7! \cdot 8! \cdot 9! \cdot 10!) = \\\\ 10! \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 4^3 \cdot 5^4 \cdot 6^5 \cdot 7^6 \cdot 8^7 \cdot 9^8 \cdot 10^9) \cdot (2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 10!) = \\\\ 10! \cdot 10! \cdot (3 \cdot 4^2 \cdot 5^3 \cdot 6^4 \cdot 7^5 \cdot 8^6 \cdot 9^7 \cdot 10^8) \cdot (2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 10!) = \\\\ 10! \cdot 10! \cdot \frac{10!}{2!}\cdot (4 \cdot 5^2 \cdot 6^3 \cdot 7^4 \cdot 8^5 \cdot 9^6 \cdot 10^7) \cdot (2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 10!) = \\\\\\ 10! \cdot 10! \cdot \frac{10!}{2!} \cdot \frac{10!}{3!} \cdot (5 \cdot 6^2 \cdot 7^3 \cdot 8^4 \cdot 9^5 \cdot 10^6) \cdot (2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 10!) = \\\\ ... \\\\ 10! \cdot 10! \cdot \frac{10!}{2!} \cdot \frac{10!}{3!} \cdot \frac{10!}{4!} \cdot \frac{10!}{5!} \cdot \frac{10!}{6!} \cdot \frac{10!}{7!} \cdot (9 \cdot 10^2) \cdot (2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 10!) = \\\\\\ 10! \cdot 10! \cdot \frac{10!}{2!} \cdot \frac{10!}{3!} \cdot \frac{10!}{4!} \cdot \frac{10!}{5!} \cdot \frac{10!}{6!} \cdot \frac{10!}{7!} \cdot \frac{10!}{8!} \cdot(10) \cdot (2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 10!) = \\\\\\ 10 \cdot \frac{(10!)^9}{\cancel{2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdot 6! \cdot 7! \cdot 8!}} \cdot (\cancel{2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 8!} \cdot 9! \cdot 10!) = \\\\\\ \frac{10!}{\cancel{9!}} \cdot (10!)^9 \cdot (\cancel{9!} \cdot 10!) = \\\\\\ \boxed{\boxed{(10!)^{11}}}[/tex3]

Ufa!!
Comente qualquer dúvida!

Daniel.