Ensino Superior ⇒ Raiz Aproximada Tópico resolvido

[mauriciosteh]

A equação [tex3]e^{-2x}=3x^{2}[/tex3] possui uma raiz próxima de [tex3]x=0[/tex3]. Encontre um polinômio aproximado adequado para [tex3]e^{-2x}[/tex3] e encontre uma aproximação para esta raiz.

[theblackmamba]

Utilize o método da aproximação linear:

Dada uma função [tex3]f(x)[/tex3] continua, diferenciável e com uma variável real [tex3]x[/tex3], cujo valor é próximo de uma constante [tex3]a[/tex3], temos:


[tex3]f(x) \,\,\approx\,\,f(a)+f'(a)\cdot (x-a)[/tex3]

Sendo [tex3]f(x)=e^{-2x}[/tex3] temos:

[tex3]e^{-2x} \,\,\approx\,\,e^{-2\cdot 0}-2\cdot e^{-2\cdot 0}\cdot (x-0)[/tex3]
[tex3]e^{-2x}\,\,\approx\,\,1-2x[/tex3]

Assim,
[tex3]1-2x=3x^2[/tex3]
[tex3]3x^2+2x-1=0[/tex3]

[tex3]x=-1[/tex3] ou [tex3]x=\frac{1}{3}[/tex3]

Note que [tex3]x=-1[/tex3] não serve. Portanto a raíz aproximada é [tex3]\boxed{\frac{1}{3}\,\,\approx\,\,0,333}[/tex3]

OBS.: Em uma calculadora científica encontramos [tex3]x\,\,\approx\,\,0,39[/tex3]

Espero que seja isso.
Abraço.