Ensino Superior ⇒ Integral - Substituição Trigonométrica Tópico resolvido

[rareirin]

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{a^2-x^2}dx[/tex3]

Resposta

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[tex3]\frac{a^2}{2}\left\{\arcsen\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{x}{a^2}\sqrt{a^2-x^2}+C \right \}[/tex3]

[Kaiten]

[tex3]\int\sqrt{a^2 - x^2}dx =[/tex3]
Substituição:

[tex3]x = a\sen \theta[/tex3]
[tex3]dx = a\cos \theta[/tex3]



[tex3]\int\sqrt{a^2 - x^2}dx = \int \sqrt{a^2 - a^2\sen ^2 \theta}.a\cos \theta d\theta[/tex3]

Colocando o a em evidência e multiplicando pelo a que multiplica o [tex3]\cos \theta[/tex3] e sabendo que [tex3]\sqrt{1 - \sen ^2 \theta} = \cos \theta[/tex3]

[tex3]\int\sqrt{a^2 - x^2}dx = a^2 \int\cos ^2 \theta d\theta[/tex3]

Usando a identidade: [tex3]\cos ^2 \theta = \frac{1}{2} + \frac{\cos 2\theta}{2}[/tex3]

[tex3]a^2\int\cos^2\theta d\theta = a^2[\frac{\theta}{2} + \frac{\sen 2\theta}{4}] + C[/tex3]

Sendo que [tex3]\sen 2\theta = 2\sen \theta \cos \theta[/tex3]

[tex3]a^2\int\cos^2\theta d\theta = a^2[\frac{\theta}{2} + \frac{\sen 2\theta}{4}] + C[/tex3] = [tex3]a^2[\frac{\theta}{2} + \frac{\sen \theta \cos \theta}{2}]+ C[/tex3]

No triângulo, [tex3]\theta = \arcsen(\frac{x}{a})[/tex3], [tex3]\sen\theta = \frac{x}{a}[/tex3] e [tex3]\cos \theta =[/tex3] [tex3]\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a^2}[/tex3]

Daí, colocando o [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] em evidência, temos:

[tex3]\int\sqrt{a^2 - x^2}dx =[/tex3] = [tex3]\frac{a^2}{2}\[\arcsen\(\frac{x}{a}\) + \frac{x\cdot \sqrt{a^2-x^2}}{a^2}\] + C[/tex3]

Espero ter ajudado.
Até.