Ensino Médio ⇒ Lógica Matemática: Implicação Lógica Tópico resolvido

[olgario]

Na expressão abaixo pretendo que alguém me explique como é que a gente faz para saber, porque é que o sinal de implicação tem de ter a seta virada para a esquerda e não o contrário, para a afirmação ser verdadeira.

[tex3]\frac{-1}{2}x\geq 0 \Leftarrow \frac{1}{x}\lt 0[/tex3]

a regra diz que :" Uma condição implica outra condição, quando o conjunto-solução da 1ª, está contido no conjunto-solução da 2ª."
Se o sinal fosse ao contrário a 1ª seria a da esquerda e 2ª a da direita.
Mas assim como é ? A da esquerda é que é a 1ª e a da direita é que é a 2ª?
Ou a 1ª continua sempre sendo a da esquerda?

atenciosamente

olgario

[Inútil Caramelo]

Olá, olgario.

Acho que, nessa regra, deveriam ser utilizados os termos mais corretos mesmo, que são antecedente, no lugar de "1ª", e conseqüente, no lugar de "2ª", pois essas palavras tornam clara a idéia do sinal de implicação.

Por exemplo, na implicação [tex3]p\Rightarrow q[/tex3], em que p e q são proposições qualquer, p é antecedente e q é conseqüente. Na implicação [tex3]q\Leftarrow p[/tex3], p continua sendo antecedente (a "1ª") e q conseqüente (a "2ª"); isto é, ela é na verdade a mesma da anterior.

A implicação [tex3]p\Rightarrow q[/tex3] nos indica que sempre que p for verdadeira, q também vai ser verdadeira.

Vou usar um exemplo não matemático para que você entenda melhor: suponhamos que p seja "você está acessando o Fórum de Matemática" e que q seja "você está conectado à internet".
Podemos escrever [tex3]p\Rightarrow q[/tex3] ou [tex3]q\Leftarrow p[/tex3], pois sempre que você estiver acessando o Fórum de Matemática, você estará conectado à internet, ou seja, sempre que p for verdadeira, q também será.
No entanto, não podemos escrever [tex3]q\Rightarrow p[/tex3] ou [tex3]p\Leftarrow q[/tex3], pois você não usa a internet só para acessar o Fórum de Matemática. Pode ser que q seja verdadeira, mas p não seja.
Caso fosse assim (você só se conecta à internet para acessar o Fórum de Matemática), a implicação seria verdadeira para os dois lados e poderíamos escrever [tex3]p\Leftrightarrow q[/tex3], que é uma equivalência e indica que qualquer uma das duas proposições só é verdadeira se a outra também for verdadeira.


Vamos voltar agora para um exemplo matemático para que você entenda aquela regra...

Suponha que p seja [tex3]x+1=0[/tex3] e q seja [tex3]x\left(x+1\right)=0[/tex3].
Observe que o conjunto solução de p é [tex3]\left\{-1\right\}[/tex3] e o de q é [tex3]\left\{-1,\text{ }0\right\}[/tex3].
Podemos então escrever [tex3]p\Rightarrow q[/tex3], pois sempre que p for verdadeira (x for solução de p), então q será verdadeira (x também será solução de q). Isso ocorre porque todas as soluções de p (o antecedente) estão também presentes no conjunto solução de q (o conseqüente). Daí dizer que para que essa implicação seja verdadeira, o conjunto solução de p deve estar contido no conjunto solução de q.

Observe aqui que não seria correto escrevermos [tex3]q\Rightarrow p[/tex3], pois pelo menos um valor que torna q verdadeira torna p falsa. Nem sempre que q é verdadeira p também é verdadeira (quando, neste caso, [tex3]x=0[/tex3]).

No caso do exemplo que você deu, temos as proposições p, [tex3]\frac{-1}{2}x\geq 0[/tex3], e q, [tex3]\frac 1x\lt 0[/tex3].
Observemos que a solução de p (em [tex3]\Re[/tex3]) é [tex3]x\leq 0[/tex3] e a solução de q é [tex3]x\lt 0[/tex3].

Podemos escrever [tex3]q\Rightarrow p[/tex3] ou [tex3]p\Leftarrow q[/tex3] porque o conjunto solução de q está contido no de p: todas as soluções de q são também soluções de p; sempre que q for verdadeira, p também o será.
No entanto, não podemos escrever [tex3]p\Rightarrow q[/tex3] ou [tex3]q\Leftarrow p[/tex3] porque existirá pelo menos uma ocasião (neste caso, quando [tex3]x=0[/tex3]) em que p será verdadeira, mas q será falsa0, OK?

Acho que me estendi um pouco na explicação mas espero ter pelo menos tirado sua dúvida, olgario.

Abraço!

[olgario]

Olá, Inútil Caramelo, entendi a sua explicação, e lhe agradeço a forma pormenorizada como a expôs.

olgário