Ensino Superior ⇒ Somatórios Tópico resolvido

[micro]

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}[/tex3]

Minha dúvida é saber se é possível resolver isso usando integrais

Resposta

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1

[temujin]

Sim!

Aliás, o critério da integral é sempre um bom teste para convergência/divergência de uma série. A própria integral é uma soma, só que olhando a região contínua ao invés de discreta. Assim, se a integral converge/diverge, a somatória tb.

[micro]

poderia resolver essa conta?

[temujin]

[tex3]\int\limits_{1}^{\infty }\frac{1}{2^n}dx = \left[\frac{-1}{2^nlog(2)}\right]_{1}^{\infty} = \frac{-1}{2^\infty\log2} - \left(\frac{-1}{2^1\log2}\right) = \frac{1}{2\log2} = \frac{1}{\log4}[/tex3]

[micro]

[tex3]\frac{1}{log4}[/tex3] nao é 1.então não é a resposta não? isso que acho estranho pois se fizer o somatório na mão,[tex3]0,5+0,25+0,125.... =1[/tex3]

O livro diz que a somatória é integral, mas não estou conseguindo ver isso, pelo menos nesse caso.

[temujin]

Estranho. Eu achava que daria o mesmo valor. Mas, de fato, até conferi no Wolfram.

A integral deu 1/ln4: https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... o+infinite

E o somatório dá 1: https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... lk=4&num=1


Se alguém aí tiver uma resposta melhor, agora eu tb fiquei curioso.

[micro]

pela definição de integral definida acho que é isso

[tex3]\lim _{n \to \infty}(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n})=1[/tex3]

Agora explicar o que isso significa não sei

[temujin]

pela definição de integral definida acho que é isso

[tex3]\lim _{n \to \infty}(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n})=1[/tex3]

Agora explicar o que isso significa não sei

Na verdade, a definição de integral mostra que [tex3]\int\limits_{1}^{\infty}f(x)dx = \lim _{n \to \infty}(\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{1}{2^n}]dx)[/tex3]

Ou seja, vc está somando a área de infinitos retângulos de altura [tex3]\frac{1}{2^n}[/tex3] e base dx. É o conceito da soma de Riemann

Encontrei este vídeo http://www.youtube.com/watch?v=IWFA0PG-riA onde ele demonstra a desigualdade entre integral e soma para funções f(x) crescentes. Precisaria refazer a demonstração para decrescentes e ver se tb vale. (Não tive tempo de fazer)

De qualquer modo, a sua dúvida era saber se a série converge ou para qual valor ela converge??

[micro]

Deve ser. Olhei o vídeo aí e não entendi nada. acho que preciso me aprofundar pra entender isso,nunca vi essa coisa de desigualdade

[danmat]

Olá micro,

Eu acho que está havendo uma confusão no conceito do teste da integral. Seja [tex3]S_n = \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{1}{2^n}[/tex3] a série em questão, temos que ela converge se [tex3]\lim_{c \to \infty} \int\limits_{1}^{c } \dfrac{1}{2^x}dx[/tex3] convergir, entretanto os pontos de convergência não são necessariamente iguais. Sendo [tex3]f(x) = \dfrac{1}{2^x}[/tex3] e [tex3]\lim_{c \to \infty} \int\limits_{1}^{c } \dfrac{1}{2^x}dx = L[/tex3], temos, na realidade, a relação:

[tex3]\lim_{n \to \infty} S_n \leq f(1) + L[/tex3]

Então, como foi calculado pelo amigo temujin, [tex3]\lim_{c \to \infty}\int\limits_{1}^{c } \dfrac{1}{2^x} dx = \frac{1}{ln(4)}[/tex3] portanto a integral imprópria é convergente. Temos ainda que:

[tex3]\lim_{n \to \infty} S_n = 1[/tex3]

Disso decorre:

[tex3]\lim_{n \to \infty} S_n \leq f(1) + L[/tex3]
[tex3]1 \leq \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{ln(4)}[/tex3]

Mantendo a relação verdadeira.

Disso concluímos que, pelo fato da integral imprópria convergir, a série converge. Contudo para valores distintos...

Espero ter ajudado....