Ensino Fundamental ⇒ Polígonos Convexos Tópico resolvido

[ivan]

O número de lados de dois polígonos convexos são números pares consecutivos e um deles possui 11 diagonais a mais do que o outro. A soma do número de lados desse polígono é:

a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20

Resposta

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letra b

[poti]

[tex3]\frac{n(n-3)}{2} = \frac{(n+2)(n-1)}{2} - 11[/tex3]

[tex3]n(n-3) = (n+2)(n-1) - 22[/tex3]

[tex3]n^2 - 3n = n^2 + n - 2 - 22[/tex3]

[tex3]4n = 24[/tex3]

[tex3]\boxed{n = 6}[/tex3]

Soma:

[tex3]n + n + 2 = \boxed{14}[/tex3]

Abraço!

[Cássio]

Olá ivan.

Todo polígono convexo de [tex3]n[/tex3] lados possui [tex3]\dfrac{n(n-3)}{2}[/tex3] diagonais.

Suponha então que um dos polígonos tenha [tex3]n[/tex3] lados, onde [tex3]n[/tex3] é um número par. Então o outro polígono tem [tex3]n+2[/tex3] lados, que é o próximo número par depois de [tex3]n.[/tex3]

O número de diagonais do primeiro é [tex3]\dfrac{n(n-3)}{2}[/tex3] diagonais.

O número de diagonais do segundo é [tex3]\dfrac{(n+2)((n+2)-3)}{2}=\dfrac{(n+2)(n-1)}{2}.[/tex3]

Logo, como o segundo polígono tem mais lados, terá mais diagonais e, portanto, o segundo polígono é o polígono que tem 11 diagonais a mais que o primeiro. Resumindo:

[tex3]\dfrac{(n+2)(n-1)}{2}=\dfrac{n(n-3)}{2}+11=\dfrac{n(n-3)+22}{2}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow n^2+n-2=n^2-3n+22[/tex3]

[tex3]\Rightarrow 4n=24[/tex3]

[tex3]\Rightarrow n=6.[/tex3]

Portanto, os polígonos têm [tex3]6[/tex3] 6 [tex3]8[/tex3] lados cada um. A soma é 14.