Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais - Crescimento Populacional Tópico resolvido

[mauriciosteh]

Exercício sobre crescimento populacional

O número de bactérias em uma cultura é observado e cresce a uma razão proporcional ao número de bactérias presente. No início do experimento existem 1 000 bactérias e três horas depois existem 500 000. Quantas bactérias devem existir depois de um dia? Qual foi o tempo necessário para dobrar o número de bactérias?

[danmat]

Olá mauriciosteh,

Podemos escrever a taxa de crescimento populacional como

[tex3]\dfrac{dP}{dt} = kP[/tex3]

Vamos resolver está EDO com variáveis separáveis:

[tex3]\dfrac{dP}{P} = k dt[/tex3]

[tex3]\ln (P) = kt + C[/tex3]

[tex3]e^{\ln (P)} = e^{kt + C}[/tex3]

[tex3]P(t) = C_1e^{kt}[/tex3]

Por ser um PVI, vamos determinar os parâmetros [tex3]C_1[/tex3] e [tex3]k[/tex3]. Tenos que em [tex3]t = 0, P(0) = 1000[/tex3], assim

[tex3]1000 = C_1e^{0}[/tex3]

[tex3]C_1 = 1000[/tex3]

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[tex3]P(t) = 1000e^{kt}[/tex3]

Ainda temos que em [tex3]t = 3, P(3) = 500.000[/tex3], assim

[tex3]500.000 = 1000e^{3k}[/tex3]

[tex3]e^{3k} = 500[/tex3]

[tex3]\ln(e^{3k}) = \ln(500)[/tex3]

[tex3]3k = \ln(500)[/tex3]

[tex3]k = \dfrac{\ln(500)}{3}[/tex3]

Portanto:

[tex3]P(t) = 1000e^{(t/3)\ln(500)}[/tex3]


[tex3]P(t) = 1000e^{\ln(500^{t/3})}[/tex3]

[tex3]P(t) = 1000(500^{t/3})[/tex3]

[tex3]P(t) = 2 \cdot (500^{(t+3)/3})[/tex3]

Como temos a função que define o tamanho da população em função do tempo, basta calcularmos o que se pede:

Quantas bactérias devem existir depois de um dia?

[tex3]P(24) = 2 \cdot (500^{(24+3)/3})[/tex3]

[tex3]P(24) = 2 \cdot (500^{9})[/tex3]

Portanto, após um dia o total de bactérias igual a [tex3]2 \cdot (500^{9})[/tex3].


Qual foi o tempo necessário para dobrar o número de bactérias?

Em [tex3]t = 0[/tex3] tinhamos 1000 bactérias, portanto em [tex3]t = x[/tex3], teremos 2000 bactérias. Assim:

[tex3]P(x) = 2 \cdot (500^{(x+3)/3})[/tex3]

[tex3]2000 = 2 \cdot (500^{(x+3)/3})[/tex3]

[tex3]1000 = (500^{(x+3)/3})[/tex3]

[tex3]\ln(1000) = \ln((500^{(x+3)/3}))[/tex3]

[tex3]\dfrac{x+3}{3} = \dfrac{\ln(1000)}{\ln(500)}[/tex3]

[tex3]x = 3 \cdot \dfrac{\ln(1000)}{\ln(500)} - 3[/tex3] horas. Ou aproximadamente 20 minutos.


Espero ter ajudado...