IME / ITA ⇒ (ITA - 1997) Equação

[mahriana]

Seja s o conjunto de todas as soluções reais da equação :

[tex3]\sec\left [ \arctan \frac{1}{1+ e^x} - \arctan (1- e^x)\right ]= \frac{\sqrt5}{2}[/tex3]

Então :

A ) [tex3]S = \Phi[/tex3]
B)[tex3]S= \mathbb{R}[/tex3]
C) [tex3]S \subset [1,2][/tex3]
D) [tex3]\subset [-1,1][/tex3]
E) [tex3]S= [-1,2[[/tex3]

Resposta

---

D

[DerFreieGeist]

Consideremos a identidade trigonométrica fundamental:

[tex3]sen^2x +cos^2 = 1[/tex3]

Dividindo ambos os membros por [tex3]cos^2x[/tex3], temos:

[tex3]tan^2x +1=Sec^2x[/tex3]

Voltando à expressão inicial do problema, elevando ambos os membros da equação ao quadrado, vem que:

[tex3]]\sec^2\left [ \arctan \frac{1}{1+ e^x} - \arctan (1- e^x)\right ]= \frac{5}{4}\Rightarrow 1 + tan^2\left [ \arctan \frac{1}{1+ e^x} - \arctan (1- e^x)\right ] = \dfrac{5}{4} \Rightarrow tan^2\left [ \arctan \frac{1}{1+ e^x} - \arctan (1- e^x)\right ] = \dfrac{1}{4}[/tex3]

Assim, podemos observar que a tangente da expressão anterior é tangente da soma de dois outros arcos: [tex3]\alpha = \arctan \frac{1}{1+ e^x}\Rightarrow \tan\alpha = \frac{1}{1+ e^x}[/tex3] e [tex3]\beta =\arctan (1- e^x) \Rightarrow \tan\beta = 1- e^x[/tex3]

Podemos dizer que:

[tex3]tan^2\left [ \arctan \frac{1}{1+ e^x} - \arctan (1- e^x)\right ] = \tan^2(\alpha - \beta) = \left[\dfrac{\frac{1}{1+ e^x} - (1-e^x)}{1+\dfrac{1-e^x}{1+e^x}}\right]^2 = \left[\dfrac{e^{2x}}{1+e^x} \div \dfrac{1}{1+e^x}\right]^2 = e^{4x} = \dfrac{1}{4}[/tex3]

Retirando a raiz:

[tex3]\dfrac{1}{2} =e^{2x}[/tex3]

Aplicando o logaritmo natural em ambos os membros da equação, vem que:

[tex3]\ln{\dfrac{1}{2}} = \ln{e^{2x}}\Rightarrow \ln{\dfrac{1}{2} } = 2x \Rightarrow x = \ln{\dfrac{\sqrt2}{2}}[/tex3]

Como [tex3]\ln{\dfrac{\sqrt2}{2}} \in [-1,1][/tex3], temos que a resposta correta é a letra [tex3]d)[/tex3].

Espero ter ajudado! Abraços!