Ensino Médio ⇒ Triângulos - Distância entre Baricentro e Circuncentro Tópico resolvido

[menelaus]

Determinar a distância do circuncentro ao baricentro de um triângulo se seus lados medem [tex3]5[/tex3] , [tex3]12[/tex3] e [tex3]13[/tex3].

a) [tex3]\,\,\frac{13}{2}[/tex3]
b) [tex3]\,\,\frac{13}{3}[/tex3]
c) [tex3]\,\,\frac{13}{4}[/tex3]
d) [tex3]\,\,\frac{13}{6}[/tex3]
e) [tex3]\,\,\frac{13}{5}[/tex3]

[theblackmamba]

Ilustração do problema:

circun.png (9.48 KiB) Exibido 5193 vezes

- Note que o triângulo é retângulo pois [tex3]13^2=12^2+5^2[/tex3]
- Primeiramente, um triângulo retângulo quando inscrito numa circunferência tem como a hipotenusa o diâmetro desta. Logo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa do triângulo. [tex3](AC=CD=\frac{13}{2})[/tex3]
- O baricentro é o encontro das medianas, e como o circuncentro corta a hipotenusa no meio, esses dois pontos são colineares com a mediana [tex3]EC[/tex3] relativa a hipotenusa.
- É possível ver que a mediana [tex3]EC[/tex3] é o raio da circunferência circunscrita, ou seja, [tex3]EC=\frac{13}{2}[/tex3].

Pela propriedade do baricentro temos que:

[tex3]BC=\frac{1}{3}\cdot EC[/tex3]
[tex3]\boxed{BC=\frac{13}{6}}[/tex3]. Letra D