Ensino Superior ⇒ Integral - Volume de Esfera Tópico resolvido

[klueger]

Não sei deduzir esta fórmula... alguém pode ajudar?

O volume de um esfera de raio [tex3]r[/tex3] é dado por [tex3]V = \frac{4}{3}.\pi.r^3[/tex3].

Com o estudo de integrais podemos provar que realmente esta fórmula do volume é verdadeira, basta pensar que uma esfera de raio [tex3]r[/tex3] é gerada pela rotação em torno do eixo x da circunferência [tex3]x^2+y^2=r^2[/tex3].

Sendo assim usando os conceitos de volume de sólido de revolução prove a fórmula do volume da esfera

[danmat]

Olá klueger,

Vamos trabalhar com a função

[tex3]f(x) = \sqrt{r^2-x^2}, r > 0, -r \leq x \leq r.[/tex3]

Observe que a esfera é o sólido de revolução obtido pela rotação de [tex3]f(x)[/tex3] em torno do eixo x, em 360º. Daí utilizaremos o método dos discos, que define:

[tex3]V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \ dx[/tex3]

Assim:

[tex3]V = \pi \int_{-r}^{r} \[\sqrt{r^2-x^2} \]^2 dx[/tex3]

[tex3]V = \pi \int_{-r}^{r} r^2-x^2 \ dx = \pi \cdot \[ \int_{-r}^{r} r^2 \ dx - \int_{-r}^{r} x^2 \ dx \][/tex3]

[tex3]V = \pi \cdot \[r^2x\bigg|_{-r}^{r} - \frac{x^3}{3}\bigg|_{-r}^{r}\][/tex3]

[tex3]V = \pi \cdot \[r^2 \cdot r + r^2 \cdot r - \left(\frac{r^3}{3} - \frac{(-r)^3}{3}\right)\][/tex3]

[tex3]V = \pi \cdot \[2r^3 - \left(\frac{2r^3}{3}\right)\][/tex3]

[tex3]V = \pi \cdot \left(\frac{4r^3}{3}\right)[/tex3]

[tex3]V = \frac{4}{3}\pi r^3[/tex3]

Como desejávamos. Devo confessar que prefiro fazer essa prova utilizando integrais triplas e coordenadas esféricas... Mas o pedido foi utilizando os métodos sobre sólidos de revolução...