Ensino Superior ⇒ Matemática Discreta. Prova por indução. Tópico resolvido

[Halkernel]

Seja x um número inteiro. Se x e par, então y = x + 5 é ímpar.
a) prova direta
b) prova indireta
c) prova por contradição
d) prova por indução

Não estou conseguindo resolver o item D. Apenas ele.
Eu consegui provar para o menor valor positivo, que no caso eu acho que é 2.
Mas não consigo fazer a hipótese, nem a tese, ou o passo indutivo desta.
Poderiam me ajudar? Obrigado.

[Loreto]

Olá,
Seja x um nº inteiro. se x é par então y= x + 5 é ímpar.

x = 1 (com x par) :

[tex3]y = 2n + 5 = 7 --------> 2.1 + 5 = 7[/tex3] (ok, y é ímpar).

Por H.I , suponhamos que [tex3]x = k[/tex3] seja verdadeiro. Logo,
y = 2k + 5 é ímpar .

Mostremos para [tex3]k + 1[/tex3] :

[tex3]y =2.(k+1) + 5 = 2k + 2 + 5 = 2k + 5 + 2[/tex3]. Note que, por H.I. ,[tex3]2k + 5[/tex3] é ímpar, logo, um nº ímpar, somado com um nº par sempre resultará num número ímpar. Portanto, mostramos que essa afirmação é válida para todo K.

Espero ter ajudado.
abraço,
Loreto.

[Halkernel]

Não entendi de onde tiraste o 2n, no
[tex3]y = 2n + 5[/tex3]

Outra pergunta.
Se x é par, como podes admitir x = 1?

[Loreto]

Olá, tudo bom ?
Eu admiti [tex3]x = 2n[/tex3] , pois [tex3]x[/tex3] é par ! Assim, fiz n = 1 , o que resulta [tex3]x = 2[/tex3] que é par.
Abraço,
Loreto.

[Halkernel]

Loreto, ficou bem claro, agora.
Obrigado por tirar minhas dúvidas.