Ensino Superior ⇒ Matemática Discreta. Prova por indução. Tópico resolvido

[Halkernel]

Vamos provar que é verdadeira, para todo n ∈ N, a fórmula:
[tex3]P(n):\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} +...+\frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}[/tex3]

Não consegui solucionar. Fui até:
i) Passo base
Provar para P(1)
[tex3]P(1):\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} +...+\frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{1+1}[/tex3]
[tex3]P(1):\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} +...+\frac{1}{2} = \frac{1}{2}[/tex3] OK!

ii) Passo indutivo P(k) [tex3]\rightarrow[/tex3] P(k+1)
[tex3]P(k): \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} +...+\frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}[/tex3]
[tex3]P(k+1): \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} +...+ k + \frac{1}{k+1(k+1+1)} = \frac{k+1}{(k+1)+(1)}[/tex3]

Utilizando o passo indutivo
[tex3]\frac{1}{k(k+1)}+ \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{(k+2)}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{k(k+1)}+ \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{(k+2)}[/tex3]
[tex3]\frac{k}{(k+1)}+ \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{(k+2)}[/tex3]


Cheguei até aqui. Não consegui chegar a igualdade entre os dois membros.
Poderiam me ajudar? Obrigado.

[danmat]

Olá Halkernel,

Observe o seguinte:

Base n = 1:

[tex3]P(1) = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} \\
\\

\frac{n}{n+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}[/tex3]

Portanto a base se verifica.

Hipótese: a relação vale para [tex3]n = k[/tex3].

Passo de indução: [tex3]n = k+1[/tex3]

[tex3]P(k+1) = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{k \cdot (k+1)} + \frac{1}{(k+1) \cdot (k+2)}[/tex3]

Pela hipótese:

[tex3]= \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1) \cdot (k+2)}[/tex3]

Observe que [tex3](k+1) \cdot (k+2)[/tex3] é múltiplo de [tex3]k+1[/tex3], então seu mmc é [tex3](k+1) \cdot (k+2)[/tex3], daí:

[tex3]\frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1) \cdot (k+2)}= \frac{k(k+2) + 1}{(k+1) \cdot (k+2)}[/tex3]

[tex3]= \frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1) \cdot (k+2)} = \frac{(k+1)^2}{(k+1) \cdot (k+2)} = \frac{k+1}{k+2} = \frac{k+1}{(k+1)+1}[/tex3]

Ficando provada a relação. Concorda?

[Halkernel]

Concordo.
Olha, esclareceu muito.
Obrigado.