Pré-Vestibular ⇒ (UFG - 2006) Lucro Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um supermercado vende [tex3]400[/tex3] pacotes de [tex3]5\text{ kg}[/tex3] de uma determinada marca de arroz por semana. O preço de cada pacote é [tex3]\text{R\$ }6,00[/tex3], e o lucro do supermercado, em cada pacote vendido, é de [tex3]\text{R\$ }2,00[/tex3]. Se for dado um desconto de [tex3]x[/tex3] reais no preço do pacote do arroz, o lucro por pacote terá uma redução de [tex3]x[/tex3] reais, mas, em compensação, o supermercado aumentará sua venda em [tex3]400x[/tex3] pacotes por semana. Nestas condições, calcule:

a) O lucro desse supermercado em uma semana, caso o desconto dado seja de [tex3]\text{R\$ }1,00[/tex3].

b) O preço do pacote do arroz para que o lucro do supermercado seja máximo, no período considerado.

[Radius]

(I) Sem o desconto:

O lucro semanal será:

[tex3]L=400\times 2=800\,pilas \,\,\, (fixo)[/tex3]

(II) Com o desconto:

Note que [tex3]0<x<2[/tex3] e o lucro por pacote será [tex3]2-x[/tex3] e o número de pacotes vendidos será [tex3]400+400x[/tex3]
Então o lucro semanal será:

[tex3]L(x)=(2-x)\cdot( 400+400x) \\ \\ L(x)=-400x^2+400x+800[/tex3]

-----
a) Com x=1,

[tex3]L(1)=-400+400+800=\boxed{800\,pilas}[/tex3]

b) precisamos achar o x do vértice:

[tex3]x_v=-\frac{b}{2a}=\frac{400}{800}=50\,cents[/tex3]

logo o preço do pacote de arroz será [tex3]\boxed{5,50\,pilas}[/tex3] para ter lucro máximo.

[PedroCunha]

Vamos lá.

Primeiramente, do enunciado tiramos que o lucro é dado por:

[tex3](400 + 400x) \cdot (2-x) \therefore 800 - 400x + 800x - 400x^2 \therefore \boxed{\boxed{-400x^2 + 400x + 800}}[/tex3]

Agora, partindo para às alternativas:

a) O lucro desse supermercado em uma semana, caso o desconto dado seja de [tex3]\text{R\$ }1,00[/tex3].

Fazendo [tex3]x = 1[/tex3], temos:

[tex3]-400x^2 +400x + 800 \therefore -400 \cdot (1^2) + 400\cdot1 + 800 \therefore -400 + 1200 \therefore \boxed{\boxed{R{\$}800,00}}[/tex3]

b) O preço do pacote do arroz para que o lucro do supermercado seja máximo, no período considerado.

Para que o preço seja máximo [tex3](Y_v)[/tex3] teremos um valor que faz esse preço ser máximo [tex3](X_v)[/tex3]. Calculando esse valor temos:

[tex3]\begin{cases}
\displaystyle L(x) = -400x^2 + 400x + 800 \\
\displaystyle X_v = -\frac{b}{2a} \therefore -\frac{400}{-800} \therefore -\left(-\frac{1}{2}\right) \therefore \boxed{\boxed{X_v = 0,5}}\\
\end{cases}[/tex3]

Agora para acharmos o preço do pacote devemos fazer a seguinte conta:

[tex3]Valor \,\, orignal \,\,\,\, - \,\,\,\, X_v(Desconto) \therefore 6 - 0,5 \therefore \boxed{\boxed{R{\$} 5,50}}[/tex3]

Penso que seja isso.

Att.,
Pedro