Ensino Superior ⇒ Algebra linear (Matrizes) Tópico resolvido

[crsjcarlos]

Mostre que se A é uma matriz invertível, então A + B e In + B [tex3]A^{-1}[/tex3] são ambas invertíveis, ou ambas não invertíveis.. (Sugestão: multiplique A + B por [tex3]A^{-1}[/tex3].)

[danmat]

Olá crsjcarlos,

Para esta prova precisaremos da seguinte proposição básica:

Proposição 1. Se [tex3]A, B[/tex3] são invetíveis, então [tex3]A \cdot B[/tex3] também será, sendo

[tex3](AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}[/tex3]

Prova:

Para verificarmos que a indentidade anterior é valida basta mostrarmos que [tex3](B^{-1}A^{-1}) \cdot (AB) = (AB) \cdot (B^{-1}A^{-1}) = I_n[/tex3]. Vou mostrar a primeira identidade, pois a segunda procede-se de forma análoga.

[tex3](B^{-1}A^{-1}) \cdot (AB) = B^{-1} \cdot (A^{-1} \cdot A) \cdot B[/tex3]

[tex3]= B^{-1} \cdot I_n \cdot B = B^{-1} \cdot B = I_n.[/tex3] QED

Agora vamos ao problema:

Se [tex3]A[/tex3] é uma matriz invertível, então [tex3]A + B[/tex3] e [tex3]I_n + BA^{-1}[/tex3] são ambas invertíveis, ou ambas não invertíveis.

Prova:

Vamos considerar [tex3]A[/tex3] invertível e

1º) [tex3]A + B[/tex3] é invetível.

Se [tex3]A + B = C[/tex3] é invertível, então [tex3]I_n + B \cdot A^{-1} = C \cdot A^{-1}[/tex3]. Como [tex3]C[/tex3] é invertível pela hipótese e [tex3](A^{-1})^{-1} = A[/tex3] é invertível por definição, pela Proposição 1 temos que [tex3]C \cdot A^{-1}[/tex3] é invertível, logo [tex3]I_n + B \cdot A^{-1}[/tex3] é invertível.

2º) [tex3]I_n + B \cdot A^{-1}[/tex3] é invertível.

[tex3]I_n + B \cdot A^{-1} = C \Rightarrow A \cdot A^{-1} + B \cdot A^{-1} = C \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\Rightarrow (A + B) \cdot A^{-1} = C \Rightarrow (A + B) \cdot A^{-1} \cdot A = C \cdot A \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\Rightarrow (A + B) \cdot I_n = C \cdot A \Rightarrow A + B = C \cdot A[/tex3]

Como [tex3]C[/tex3] é invertível por hipótese e [tex3]A[/tex3] é invertível por definição, pela Proposição 1, temos que [tex3]A + B[/tex3] é invertível.

Observe, agora, que ambos os casos de serem ambas invertíveis, ou ambas não invertíveis foram contemplados pelo argumento anterior. QED

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