Ensino Fundamental ⇒ Soma dos pontos médios. Tópico resolvido

[JOÃO ANTÔNIO VIEIRA]

olá, tentei resolver o exercicio logo abaixo, mas encontrei apenas uma resposta, já no gabarito consta três respostas como corretas. Alguém poderia me ajudar a visualisar as outras duas respostas que o gabarito diz também estar correta.

Numa reta r, tomemos os segmentos AB e BC e um ponto P de modo que AB seja o quíntuplo de PC, BC seja o quádruplo de PC e AP = 80cm. Sendo M e N os pontos médios de AB e BC, respectivamente, determine MN.

A resposta que eu encontrei é : 36 cm.
Já no gabarito as respostas são: 36 cm ou 45 cm ou 20 cm.

Agradeço antecipadamente.

Sem mais. João.

[Thadeu]

A ------------- B-----------P-------C

AB = 5PC
BC = 4PC
AP = 80

Nesse caso,
AP = AB + BC - PC
80 = 5PC + 4PC - PC
8PC = 80
PC = 10 cm

AB = 50 cm e BC = 40 cm
A soma dos pontos médios MN será 25 + 20 = 45 cm

Uma das respostas

[MatheusBorgesMOD]

Resposta

---

36cm,45cm ou 20cm

Pessoal vou da um up no tópico. Encontrei esse exercício no (FME) e encontrei somente 45cm como o colega acima, o gabarito está incorreto?

[cajuADMIN]

Olá MafIl10,

Utilizando a seguinte reta:

Screen Shot 2017-11-15 at 20.24.01.png (11.52 KiB) Exibido 5054 vezes

Podemos escrever:

[tex3]x=5PC[/tex3]
[tex3]y=4PC[/tex3]

Podemos escrever o comprimento AC de duas formas:

[tex3]AC=x-y[/tex3]
[tex3]AC=k-PC[/tex3]

Ou seja, igualando as duas equações acima, e sabendo que [tex3]k=80[/tex3]:

[tex3]x-y=80-PC[/tex3]

[tex3]5PC-4PC=80-PC\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{PC=40}[/tex3]

Com esse valor de PC encontramos: [tex3]AB=5PC=200[/tex3] e [tex3]BC=4PC=160[/tex3].

M é ponto médio de [tex3]AB[/tex3]. Ou seja, [tex3]BM=100[/tex3].

N é ponto médio de [tex3]BC[/tex3]. Ou seja, [tex3]BN=80[/tex3].

Assim, concluímos que [tex3]\boxed{\boxed{MN=20}}[/tex3].

Veja que é só colocar os pontos em ordem diferente para encontrar [tex3]MN[/tex3] diferente.

Grande abraço,
Prof. Caju

[cajuADMIN]

Fazendo com a seguinte ordem:

Screen Shot 2017-11-15 at 20.38.43.png (8.12 KiB) Exibido 5052 vezes

Temos:

[tex3]x+y+k=80[/tex3]

Sendo:

[tex3]x=5k[/tex3]
[tex3]y=4k[/tex3]

Temos:

[tex3]5k+4k+k=80\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{k=8}[/tex3]

Ou seja, [tex3]x=AB=40[/tex3] e [tex3]y=BC=32[/tex3]

Sendo [tex3]M[/tex3] ponto médio de [tex3]AB[/tex3], temos que [tex3]BM=20[/tex3]

Sendo [tex3]N[/tex3] ponto médio de [tex3]BC[/tex3], temos que [tex3]BN=16[/tex3]

Assim, [tex3]MN=20+16=36[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[MatheusBorgesMOD]

(I) Professor caju, o senhor inverteu o segmento [tex3]\overline{BC}[/tex3]. Pode fazer isso? Isso entra na propriedade reflexiva de segmentos?

(II) Como posso descobrir que todas as formas foram possíveis de se rearranjar?

[cajuADMIN]

Olá MafIl10,

O que fiz foi apenas seguir as regras do enunciado.

Note que não há nenhuma indicação no enunciado de que o ponto [tex3]C[/tex3] tenha que vir à direita ou à esquerda de [tex3]B[/tex3]. Nem que [tex3]P[/tex3] tenha que vir à direita ou à esquerda de [tex3]C[/tex3]. Então temos que analisar todas essas possibilidades.

Sendo assim, temos 4 possíveis cenários:

[tex3]ABCP[/tex3], que resulta em [tex3]MN=36[/tex3]
[tex3]ABPC[/tex3], que resulta em [tex3]MN=45[/tex3]
[tex3]ACPB[/tex3], que resulta em [tex3]MN=20[/tex3]
[tex3]APCB[/tex3], que resulta em impossibilidade, pois [tex3]P[/tex3] seria igual a [tex3]A[/tex3], mas deve ser [tex3]AP=80[/tex3].

Grande abraço,
Prof. Caju

[MatheusBorgesMOD]

BACP
BAPC
PABC
PBAC
E essas possibilidades?

[MatheusBorgesMOD]

Dessa maneira que coloquei os pontos a [tex3]med(\overline{PC})[/tex3] está ficando negativa, ou o [tex3]\overline{BA}[/tex3] que é maior que [tex3]\overline{BC}[/tex3] pelos dados do enunciado fica literalmente contido e menor [tex3]\overline{BC}[/tex3] esse exercício está complicado de definir um padrão. Por que isso que eu disse aconteceu?

[cajuADMIN]

Olá MafIl10,

Essas hipóteses que você lançou não dão certo pois não respeitam as condições do enunciado. Veja só:

BACP, BAPC e PBAC : Estas não funcionam pois AB=5PC e BC=4PC, ou seja, AB tem que ser maior que BC, o que não acontece nessa hipótese.

PABC : Esta hipótese não funciona pois AB tem que ser 5x maior que PC, ou seja, AB tem que ser maior que PC, o que não acontece nessa hipótese.

Grande abraço,
Prof. Caju