Pré-Vestibular ⇒ Equação Literal Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Determine [tex3]m[/tex3] na equação do 2º grau [tex3]mx^2-2(m-1)x-m-1=0[/tex3] para que se tenha uma única raiz entre [tex3]{-}1[/tex3] e [tex3]2[/tex3].

[DiegoNunes]

Olá Paulo, espero que eu tenha entendido o enunciado.
A parábola em questão tem uma raiz entre -1 e 2. Verifiquemos o discriminante:
[tex3]\Delta = 4(m - 1)^2 - 4m( - m - 1) = 8m^2 - 4m + 4 > 0\forall m[/tex3]

Portanto, isso indica que o discriminante é positivo para qualquer m, ou seja, a equaçao sempre terá duas raízes diferentes. Logo, para que haja apenas uma raiz entre -1 e 2, podemos utilizar o Teorema de Rolle (se não me engano).
O produto das ordenadas nas abscissas -1 e 2 deve ser menor que 0.
Logo, temos:
[tex3]\begin{array}{l}
f(x) = mx^2 - 2(m - 1)x - m - 1 \\
f( - 1) \cdot f(2) \lt 0 \\
\left[ {m \cdot ( - 1)^2 - 2(m - 1)( - 1) - m - 1} \right] \cdot \left[ {m \cdot 2^2 - 2(m - 1) \cdot 2 - m - 1} \right] \lt 0 \\
(m + 2m - 2 - m - 1)(4m - 4m + 4 - m - 1) \lt 0 \\
(2m - 3)( - m + 3) \lt 0 \\
\end{array}[/tex3]

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Logo, a solução da inequação produto anterior é:
[tex3]m \lt \frac{3}{2}[/tex3] ou [tex3]m > 3[/tex3].

Não podemos esquecer da última condição nesse caso. Para que realmente exista a parábola [tex3]m \ne 0[/tex3]. Então temos o conjunto de valores de m:
[tex3]S = \left\{ {m \in R/m \lt \frac{3}{2}{\rm{ ou }}m > 3{\rm{ e }}m \ne 0} \right\}[/tex3]