Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Círculos Tangentes Tópico resolvido

[dinhotosi]

bom dia a todos!!!!!!!

bom, a questão que tenho é a seguinte:

temos três circunferências tangentes exteriormente, dentre qual passa uma tangente comum a elas, pergunta-se quanto mede o raio da menor, sabendo que o raio da maior mede 4cm, e da média mede 1cm?

desde já agradeço a ajuda de todos....

[cajuADMIN]

Olá dinhotosi,

A figura, nas proporções corretas, com alguns traços auxiliares para a resolução, é:

Screen Shot 2013-04-09 at 19.56.23.png (35.15 KiB) Exibido 474 vezes

Temos vários triângulos retângulos para aplicar Báscara. Vamos aplicar nos triângulos FHD, FGE e DEI.

FHD -> [tex3](FH)^2+(HD)^2=(FD)^2\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{HD=4}[/tex3]

FGE -> [tex3](FG)^2+(GE)^2=(FE)^2\,\,\,\rightarrow\,\,\,(4-r)^2+x^2=(4+r)^2\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{x=4\sqrt{r}}[/tex3]

DEI -> [tex3](DI)^2+(IE)^2=(DE)^2\,\,\rightarrow\,\,(1-r)^2+(4-x)^2=(1+r)^2\,\,\rightarrow\,\,\boxed{(4-x)^2=4r}[/tex3]

Com as duas equações enquadradas acima, temos um sistema. Substituindo a de cima na de baixo:

[tex3](4-4\sqrt{r})^2=4r[/tex3]

[tex3]16(1-\sqrt{r})^2=4r[/tex3]

[tex3]4(1-\sqrt{r})^2=r[/tex3]

[tex3]4(1-2\sqrt{r}+r)=r[/tex3]

[tex3]4-8\sqrt{r}+8r=r[/tex3]

[tex3]8r-9\sqrt{r}+4=0[/tex3]

Para facilitar, vamos trocar a incógnita fazendo [tex3]\sqrt{r}=x\,\,\,\rightarrow\,\,\,r=x^2[/tex3]

[tex3]8x^2-9x+4=0[/tex3]

Resolvendo, encontramos [tex3]x=2[/tex3] ou [tex3]x=\frac 23[/tex3], que nos dá [tex3]r=4[/tex3] ou [tex3]r=\frac{4}{9}[/tex3].

Vemos que [tex3]r[/tex3] deve ser um valor menor do que [tex3]1[/tex3], pois está no meio das duas circunferências maiores, ou seja, [tex3]\boxed{\boxed{r=\frac{4}{9}}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[dinhotosi]

pô caju, brigadão, a resposta é esta mesmo, que Deus continue te abençoando,.abraços....