Olimpíadas ⇒ (AIME - 1989) Dízima Periódica Tópico resolvido

[Thadeu]

Suponha que [tex3]n[/tex3] é um inteiro positivo e [tex3]d[/tex3] é um dígito na base 10. Calcule [tex3]n[/tex3] se

• [tex3]\frac{n}{810}\,=\,0,d25d25d25\ldots[/tex3]

[Rogério Moraes]

Pelo enunciado:

• [tex3]n \in \mathbb{Z}^{*}_{+}[/tex3] e [tex3]d \in \{0, 1, 2, 3, \ldots, 9\}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{n}{810} = 0,d25d25d25\ldots[/tex3]

Logo:

• [tex3]\frac{n}{810} = 0,d25 + 0,000d25 + 0,000000d25 + \ldots[/tex3]
  
  [tex3]\frac{n}{810} = d25(10^{-3} + 10^{-6} + 10^{-9} + \ldots)[/tex3]

Fazendo [tex3]S = 10^{-3} + 10^{-6} + 10^{-9} + \ldots,[/tex3] tem-se que [tex3]S[/tex3] é a soma de uma P.G. de tal que [tex3]a_1 = q = 10^{-3},[/tex3] onde [tex3]a_1[/tex3] e [tex3]q[/tex3] são, respectivamente, o primeiro termo e a razão da P.G.

Lembrando que [tex3]S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{10^{-3}}{1 - 10^{-3}} = \frac{1}{999},[/tex3] obtém-se:

• [tex3]\frac{n}{810} = d25\(\frac{1}{999}\) \Rightarrow 37 n = 30 (100 d + 25)\Rightarrow 37 n = 3 (1000 d + 250)[/tex3]

Dividindo-se [tex3]1000[/tex3] e [tex3]250[/tex3] por [tex3]37,[/tex3] obtém-se: [tex3]1000 = 37\cdot 27 + 1[/tex3] e [tex3]250 = 37 \cdot 6 + 28,[/tex3] logo:

• [tex3]37 n = 3 [(37\cdot 27 + 1) d + (37 \cdot 6 + 28)] \Rightarrow 37 n = 3 [37 (27 d + 6) + (d + 28)][/tex3]

Pela expressão anterior, conclui-se que:

• [tex3]37[/tex3] é primo e [tex3]37[/tex3] divide [tex3]3 [37 (27 d + 6) + (d + 28)],[/tex3] logo: [tex3]37[/tex3] divide [tex3]3[/tex3] (falso) ou [tex3]37[/tex3] divide [tex3][37 (27 d + 6) + (d + 28)].[/tex3]

Portanto: [tex3]37[/tex3] divide [tex3](d + 28) \Rightarrow \exists k \in \mathbb{Z}[/tex3] tal que [tex3]d + 28 = 37 k \Rightarrow d = 37 k - 28[/tex3] (i)

Logo: [tex3]n = 3 \[(27 d + 6) + \frac{d + 28}{37}\][/tex3] (ii)

Como [tex3]0 \le d \le 9 \Rightarrow 0 \le 37 k - 28 \le 9 \Rightarrow 28 \le 37 k \le 37 \Rightarrow \frac{28}{37} \le k \le 1[/tex3]

Como [tex3]k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1[/tex3] (iii)

Substituindo a equação (iii) na (i): [tex3]d = 37 \cdot 1 - 28 \Rightarrow d = 9[/tex3] (iv)

Substituindo a equação (iv) na (ii): [tex3]n = 3 \[(27 \cdot 9 + 6) + \frac{9 + 28}{37}\] \Rightarrow n = 3(243 + 6 + 1) \Rightarrow n = 750[/tex3]

Substituindo os valores na expressão original, verifica-se que: [tex3]\frac{750}{810} = 0,925925925\ldots[/tex3]