Ensino Superior ⇒ Limite pela definição formal Tópico resolvido

[LeoSueiro]

Com as explicações acima, consegui resolver uns exercícios nos quais estava travado.

Mas, voltando à solução do meu penúltimo post, por que "podemos fazer" isso abaixo?


Observe que se pudermos achar uma constante positiva C tal que |x + 3| < C, então |x + 3||x - 3| < C|x - 3|.
e podemos fazer C|x - 3| < epsilon

[danmat]

Olá LeoSueiro,

Sobre esta passagem o que estamos fazendo é nada mais do que aplicar uma relação válida sobre os números reais, sejam [tex3]a,b,c \in R_{+}^{*}[/tex3] e, sem perda de generalidade, [tex3]a < b[/tex3], então vale que [tex3]a \cdot c < b \cdot c[/tex3]

Sendo assim estamos tentando definir [tex3]\delta[/tex3] em função de [tex3]\varepsilon[/tex3], tais que se [tex3]|x-3| < \delta[/tex3], então [tex3]|f(x) - 9| < \varepsilon[/tex3]. Resolvendo da forma que você disse já ter compreendido, chegamos à [tex3]|x+3| \cdot |x-3| < \varepsilon[/tex3]. Precisamos "desaparecer" com o termo [tex3]|x+3|[/tex3], pois de outra forma não conseguiremos atingir nosso objetivo. Agora vem uma parte muito importante! Como estamos analisando o limite de [tex3]f(x)[/tex3] quando x assume valores cada vez mais próximos de [tex3]3[/tex3] é razoável acreditarmos que a distância entre qualquer um dos valores de [tex3]x[/tex3] ao número [tex3]3[/tex3] seja menor do que [tex3]1[/tex3], ou matematicamente:

[tex3]|x-3| < 1[/tex3]

Ou ainda:

[tex3]-1 < x-1 < 1[/tex3]

[tex3]0 < x < 2[/tex3]

Como criamos uma restrição para [tex3]x[/tex3], vamos construir uma restrição para [tex3]x + 3[/tex3], basta somarmos [tex3]3[/tex3] unidades aos membros da desigualdade anterior:

[tex3]3 < x + 3 < 5[/tex3]

Portanto, da desigualdade acima concluímos que [tex3]|x+ 3| < 5[/tex3], aplicando a propriedade que falamos no incício, se [tex3]|x+3|<5[/tex3], então [tex3]|x+3| \cdot |x-3| < 5 \cdot |x-3|[/tex3] e ainda restringimos que [tex3]|x+3| \cdot |x-3| < 5 \cdot |x-3| < \varepsilon[/tex3] e, portanto, [tex3]|x-3|< \frac{\varepsilon}{5}[/tex3], daí faremos [tex3]\delta = \frac{\varepsilon}{5}[/tex3]

Mas ainda temos uma restrição sobre [tex3]|x-3|[/tex3], veja novamente a excelente explicação que você postou mais acima...

Abraço!

[LeoSueiro]

Dan, acho que não fui claro na pergunta ...

C|x - 3| < epsilon

Como ele sabe que epsilon é maior que C|x - 3| ?



Ele diz:
|x + 3||x - 3| < epsilon
|x + 3||x - 3| < C|x - 3|

E depois:
C|x - 3| < epsilon

[danmat]

"Como ele sabe que epsilon é maior que C|x - 3|?"

Na realidade é "ele" quem restringe essa relação, pois os valores de [tex3]\varepsilon[/tex3] são definidos arbitrariamente. è como se colocassemos uma nova restrição para o jogador 1. Então, de fato, ele "não sabe", ele "condiciona".

Abraço!

[LeoSueiro]

Tópico encerrado. Todas as dúvidas foram esclarecidas.

Obrigado aos três que participaram.