Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Razão Entre Áreas

[Birnebaum]

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Na figura acima sabe-se que,
CA'=CB/3, AB'=AC/3 e BC'=BA/3
A razão entre as áreas dos triângulos MNP e ABC é:
a)1/3
b)1/4
c)1/6
d)1/7
e)1/9

Livro Geometria vol II 4a edição A.C. Morgado exercício 264

Agradeço uma resolução usando somente relação de áreas.

att

[adrianotavares]

Olá,bernebaum.

área hachurada.png (18.11 KiB) Exibido 12463 vezes

Vou resolver esse exercício utilizando a relação entre áreas e o teorema de Menelaus.

[tex3]S[/tex3] área do triângulo [tex3]ABC[/tex3]

Vamlos calcular a razão entre os segmentos [tex3]AM[/tex3] e [tex3]MA'[/tex3] utilizando o teorema de Menelaus , considerando o triângulo [tex3]AA'C[/tex3] e a ceviana [tex3]B'PB[/tex3]

[tex3]\frac{AM}{MA'}.\frac{BA}{A'C}.\frac{CB'}{B'A}=1 \Rightarrow \frac{AM}{MA'}.\frac{2x}{3x}.\frac{2z}{z}=1 \Rightarrow \frac{AM}{MA'}=\frac{3}{4}[/tex3]

A área do triângulo [tex3]ABA'[/tex3] corresponde a [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] da área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] pois, ambos têm a mesma altura, logo a razão entre suas áreas é igual a razão entre suas bases.

[tex3]ABA'=\frac{2S}{3}[/tex3]

Vamos analisar o triângulo [tex3]ABA'[/tex3] tendo como base o segmento [tex3]AA'[/tex3].

Como [tex3]AA'[/tex3] foi dividida em sete partes a área do triângulo [tex3]BAM[/tex3] será:

[tex3]A_{BAM}=\frac{3}{7}ABA' \Rightarrow A_{ABM}=\frac{3}{7}.\frac{2S}{3} \Rightarrow A_{ABM}= \frac{2S}{7}[/tex3]

Considerando como base do triângulo [tex3]ABC[/tex3] o segmento [tex3]AC[/tex3] podemos escrever:

[tex3]A_{BAB'}=\frac{S}{3}[/tex3]

A área do triângulo [tex3]AMB'[/tex3] é dada por:

[tex3]A_{AMB'}= A_{BAB'}-A_{ABM} \Rightarrow A_{AMB'}=\frac{S}{3}-\frac{2S}{7} \Rightarrow A_{AMB'}=\frac{S}{21}[/tex3]

O interessante é notar que os triângulos verdes têm a mesma área pois, podemos traçar os outros segmentos destacados e utilizarmos o mesmo raciocínio.Dessa forma podemos concluir também que os três quadriláteros possuem a mesma área.

[tex3]A_{AMPC'}=A_{BPNA'}=A_{MNCB'}=\frac{S}{3}-\frac{2.S}{21}=\frac{5S}{21}[/tex3]

A área dom triângulo [tex3]PMN[/tex3] é dada por:

[tex3]A_{PMN}=S-3\frac{5S}{21}-\frac{3.S}{21} \Rightarrow A_{PMN}=\frac{S}{7}[/tex3]

Logo teremos:

[tex3]\frac{A_{PMN}}{A_{ABC}}=\frac{1}{7}[/tex3]

Alternativa:d

[edu_landim]

Proposição: Se dois triângulos tem mesma altura, então suas áreas são proporcionais às suas bases.

Seja [tex3]S[/tex3] e [tex3]X[/tex3] as áreas dos triângulos [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]MNP[/tex3] respectivamente. Usando a proposição acima temos que os triângulos [tex3]ACC'[/tex3] e [tex3]BAB'[/tex3] são respectivamente [tex3]\frac{2S}{3}[/tex3] e [tex3]\frac{S}{3}[/tex3].

Trace [tex3]AP[/tex3] e considere [tex3]A_1[/tex3] e [tex3]A_2[/tex3] as áreas dos triângulos [tex3]PBC'[/tex3] e [tex3]PAB'[/tex3] respectivamente. Usando novamente a proposição, temos que as áreas dos triângulos [tex3]PC'A[/tex3] e [tex3]PB'C[/tex3] são [tex3]2A_1[/tex3] e [tex3]2A_2[/tex3] respectivamente.

Da composição de regiões temos [tex3]3A_1 + A_2 = \frac{S}{3}[/tex3] e [tex3]3A_2 + 2A_1 = \frac{2S}{3}[/tex3]. Resolvendo esse sistema obtemos [tex3]S_1 = \frac{S}{21}[/tex3]. De modo anaálogo temos as áreas de [tex3]AMB'[/tex3] e [tex3]A'NC[/tex3] também iguais a [tex3]\frac{S}{21}[/tex3].

Finalmente, perceba que

[tex3]S(ABB') + S(AA'C) + S(CC'B) + X = S + S(AMB') + S(A'NC) + S(BC'P)[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \frac{S}{3} + \frac{S}{3} + \frac{S}{3} +X= S + \frac{S}{21} + \frac{S}{21} + \frac{S}{21}[/tex3]
[tex3]\frac{X}{S} = \frac{1}{7}[/tex3]

[Birnebaum]

Obrigado Adriano e Edu.
Adriano na minha tentativa de resolução não consegui enxergar AA" fica dividida em 7 partes.

[Birnebaum]

adri.png (19.32 KiB) Exibido 12453 vezes

Adriano depois que achou por Menelaus que AA' fica divido em 7 partes pude chegar a área de 3k ,e ficamos com mais opção:

Sendo S a área de ABC e S1 a área de MNP .
Vemos que a área de ABC vista de quaisquer dos vértices é 3.(k+2k+3k+k)=21k
A áreas de S1 =21k-(k+2k+3k+k+k+3k+k+2k+3k)=3k

Então S1/S=3k/21k--->S1/S=1/7