IME / ITA ⇒ (EN - 1985) Derivada: Máximos e Mínimos Tópico resolvido

[mvgcsdf]

O brilho de uma fonte de intensidade [tex3]i[/tex3] a uma distância [tex3]d[/tex3] é dado por [tex3]i/d^2.[/tex3] Suponha que haja uma fonte de intensidade [tex3]A[/tex3] na origem e outra de intensidade [tex3]B[/tex3] no ponto [tex3](1,\,0).[/tex3] A razão [tex3]A/B[/tex3] para o qual torna o ponto [tex3](1/3,\, 0)[/tex3] o menos iluminado de todos é

a) [tex3]1\hspace{40pt}[/tex3] b) [tex3]1/3\hspace{40pt}[/tex3] c) [tex3]2/3\hspace{40pt}[/tex3] d) [tex3]1/8\hspace{40pt}[/tex3] e) [tex3]3/2\hspace{40pt}[/tex3]

Achei um resultado que não consta nas alternativas... [tex3]1/4[/tex3].







[tex3]\,[/tex3]

[fabit]

Eu achei 1/8, letra d.

Fiz assim...

A função brilho total f(x), dada por

[tex3]f(x)=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{\(1-x\)^2}[/tex3] deve possuir um ponto crítico quando x=1/3.

Como o que se quer é a razão A/B, deixo a substituição do valor numérico do x para o último momento:

[tex3]f'(x)=\frac{-2A}{x^3}+\frac{2B}{\(1-x\)^3}[/tex3]

Seja x tal que (x,f(x)) é crítico. Então a derivada se anula e...
[tex3]f'(x)=0\Rightarrow\frac{B}{\(1-x\)^3}=\frac{A}{x^3}\Rightarrow\frac{A}{B}=\(\frac{x}{1-x}\)^3[/tex3]. Mas sabemos que x=1/3. Portanto

[tex3]\frac{A}{B}=\(\frac{1/\cancel{3}}{2/\cancel{3}}\)^3=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}[/tex3]

Só não posso deixar de observar que o enunciado é exquisito, no mínimo, uma vez que ao irmos para o infinito, obtemos cada vez menos iluminação, sem dúvda abaixo do mínimo pesquisado. A pergunta deveria falar algo como "o menos iluminado de todos os pontos do segmento de reta AB".

Abraço