Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana - Triângulo Inscrito e Circunscrito

[ALDRINMOD]

Numa circunferência [tex3]C[/tex3], está inscrito um triângulo retângulo [tex3]ABC[/tex3], os comprimentos das flechas relativas aos catetos medem [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3]. Calcule o comprimento da circunferência inscrita no triângulo [tex3]ABC[/tex3].

(A) [tex3]\pi\sqrt{ab}[/tex3].
(B) [tex3]2\pi\sqrt{ab}[/tex3].
(C) [tex3]\pi\sqrt{2ab}[/tex3].
(D) [tex3]2\pi\sqrt{2ba}[/tex3].
(E) [tex3]\pi\sqrt{a^2+b^2}[/tex3].

[VALDECIRTOZZI]

Consideremos a figura:

circuncentro incentro_1.jpg (47.36 KiB) Exibido 4083 vezes

Temos inicialmente que:
[tex3]I[/tex3] é o incentro
[tex3]C[/tex3] é o circuncentro
[tex3]R[/tex3] é o raio da circunferência circunscrita
[tex3]r[/tex3] é o raio da circunferência inscrita
[tex3]\overline{EF}=a[/tex3] é a flecha relativa ao cateto [tex3]\overline {AC}[/tex3]
[tex3]\overline{GH}=b[/tex3] é a flecha relativa ao cateto [tex3]\overline {AB}[/tex3]
[tex3]d[/tex3] é a distância entre o circuncentro e o incentro

Temos que [tex3]\angle AHO=\angle AFO= \angle BAC=90^o[/tex3], portanto [tex3]\angle HOE=90^o[/tex3] e o quadrilátero [tex3]AFOH[/tex3] é retângulo.

Os [tex3]\Delta ABC \ e \ \Delta FCO[/tex3] são semelhantes, e sendo [tex3]F[/tex3] o ponto médio de [tex3]\overline {AC}[/tex3], podemos escrever:

[tex3]R^2=(R-a)^2+(R-b)^2[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
[tex3]R^2=R^2-2Ra+a^2+R^2-2Rb+b^2[/tex3]
[tex3]R^2-2R(a+b)+a^2+b^2=0[/tex3]

Resolvendo a equação de 2º grau em [tex3]R[/tex3]:
[tex3]R=(a+b)\pm \sqrt{2ab}[/tex3]

Da figura tiramos que o quadrilátero [tex3]IOFJ[/tex3] é um trapézio retângulo, a saber:
[tex3]\overline{IJ}=r[/tex3]
[tex3]\overline{OF}=R-a[/tex3]
[tex3]\overline{FJ}=\overline{IL}=R-b-r[/tex3]
[tex3]\overline{OL}=R-a-r[/tex3]
[tex3]\overline{IO}=d[/tex3]

O [tex3]\Delta ILO[/tex3] é retângulo, então:
[tex3]\left(\overline{IO}\right)^2=\left(\overline{IL}\right)^2+\left(\overline{OL}\right)^2[/tex3]
[tex3]d^2=(R-b-r)^2+(R-a-r)^2[/tex3] [tex3](II)[/tex3]

Usaremos aqui um resultado conhecido e provado que a distância [tex3](d)[/tex3] entre o circuncentro e o incentro é dada por:
[tex3]d^2=R^2-2Rr[/tex3]

Igualando esse resultado a [tex3](II)[/tex3]:
[tex3]R^2-2Rr=(R-a-r)^2+(R-b-r)^2[/tex3]
[tex3]R^2-2Rr=(R-a)^2-2r(R-a)+r^2+(R-b)^2-2r(R-b)+r^2[/tex3]
[tex3]R^2-2Rr=\underbrace{(R-a)^2+(R-b)^2}_{R^2 (I)}+2r^2-2r(R-a+R-b)[/tex3]


[tex3]\cancel{R^2}-2Rr=\cancel{R^2}+2r^2-2r(2R-a-b)[/tex3]

Simplificando por [tex3]2r[/tex3]:
[tex3]-R=r-2R+a+b[/tex3]
[tex3]r=R-a-b[/tex3] [tex3](III)[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]R[/tex3], obtido acima:
[tex3]r=(a+b)\pm \sqrt{2ab}-a-b[/tex3]

Ficamos com:
[tex3]r=\sqrt{2ab}[/tex3]

O comprimento [tex3]C[/tex3] da circunferênca inscrita é dado por:
[tex3]C=2\pi r[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]r[/tex3]:
[tex3]C=2\pi \sqrt{2ab}[/tex3]

Alternativa [tex3]\boxed{\boxed{D}}[/tex3]

Espero ter ajudado!