Ensino Médio ⇒ Sistema de Equações Logarítmicas

[olgario]

Determinar Conjunto Verdade do Sistema:

[tex3]\left\{\begin{array}{l}
\log_3x = 1 - \log_3y\\
3^x . 3^y = 81\\
\end{array} \right.[/tex3]

Resposta:

---

[tex3]S = \{(1,\,3);\,(3,\,1)\}[/tex3]

atenciosamente
olgario

[DiegoNunes]

[tex3]\begin{array}{l}
{\rm{CE's:}} \\
(i):x > 0 \\
(ii):y > 0 \\
\left\{ \begin{array}{l}
\log _3 x = 1 - \log _3 y \\
3^x \cdot 3^y = 81 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\log _3 x + \log _3 y = 1 \\
3^{x + y} = 3^4 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\log _3 xy = 1 \\
3^{x + y} = 3^4 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy = 3 \\
x + y = 4 \\
\end{array} \right. \\
{\rm{Na segunda sentenca:}} \\
x + y = 4 \Rightarrow x = 4 - y \\
{\rm{Substituindo na primeira:}} \\
xy = 3 \\
(4 - y) \cdot y = 3 \\
y^2 - 4y + 3 = 0 \\
\Delta = ( - 4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \\
y = \frac{{4 \pm \sqrt 4 }}{2} = \left\{ \begin{array}{l}
y_1 = \frac{{4 + 2}}{2} = 3 \Rightarrow x_1 = 4 - y_1 = 4 - 3 = 1 \\
y_2 = \frac{{4 - 2}}{2} = 1 \Rightarrow x_2 = 4 - y_2 = 4 - 1 = 3 \\
\end{array} \right. \\
{\rm{Ambos pares ordenados satisfazem as CE's}}{\rm{.}} \\
{\rm{Logo: }}S = \left\{ {(1,3);(3,1)} \right\} \\
{\rm{FALOW!!!!}} \\
\end{array}[/tex3]