Ensino Fundamental ⇒ Produtos Notáveis - Soma do quadrado de dois números. Tópico resolvido

[Kia]

Alguém poderia me ajudar com a resolução desse exercício: [tex3](ab+\frac{1}{2})^{2}[/tex3]


Tentei, mas não consigo chegar na resposta, que é: [tex3]a^{2}b^{2}+ab^{2}+\frac{b^{2}}{4}[/tex3]

[edu_landim]

Alguém poderia me ajudar com a resolução desse exercício: [tex3](ab+\frac{1}{2})^{2}[/tex3]

Prezada Kia

Para chegar na resposta apresentada o enunciado deveria ter [tex3]\left( ab + \frac{b}{2} \right)^2[/tex3].


Vejamos se posso ajudá-la, alguns dos exercícios que postou são de uso direto do produto notável [tex3](a + b)^2 = a^2 + 2ab +b^2[/tex3] cuja demonstração utiliza duas propriedades das operações com números reais:
(i) comutatividade da multiplicação de números reias, ou seja, [tex3]x\cdot y = y \cdot x[/tex3];
(ii) prop. distributiva da multiplicação em relação a soma de números reais, ou seja [tex3]x \cdot ( y + z) = xy + xz[/tex3].

Assim,
[tex3](a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b)\\
= (a+b)a + (a+b)b \\
= a(a+b) + b(a+b)\\
= a\cdot a + a \cdot b + b\cdot a + b \cdot b\\
=a^2 + ab + ba + b^2\\
= a^2 +ab + ab+b^2\\
= a^2 + 2ab + b^2[/tex3]

Este produto notável é dito quadrado da soma de dois termos e normalmente é lembrado por "o quadrado da soma de dois termos é o quadrado do primeiro termo mais o dobro do produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo termo".

Além disso para simplificar algumas expressões são úteis algumas propriedades de potências, como por exemplo, [tex3](ab)^n = a^n b^n[/tex3]; [tex3]\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}[/tex3]; [tex3]a^n \cdot a^m = a^{a+m}[/tex3]; [tex3]\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}[/tex3] e [tex3](a^n)^m = a^{nm}[/tex3].

[edu_landim]

[tex3]\left(ab + \frac{b}{2}\right)^2 =\\
= (ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot \frac{b}{2} + \left(\frac{b}{2}\right)^2 \\
= a^2b^2 + ab \cdot b + \frac{b^2}{2^2}\\
= a^2b^2 + ab^2 + \frac{b^2}{4}[/tex3]