Pré-Vestibular ⇒ (CESCEA - 1973) Inequação Tópico resolvido

[Juniorhw]

Se [tex3]\frac{x-a}{x^2+1}\,<\,\frac{x+a}{x^2},[/tex3] para todo [tex3]x \neq 0[/tex3], então:

[tex3]a)\, a\, < \,-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]b)\, a\,>\,\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex3]
[tex3]c)\, -\frac{\sqrt{2}}{4}\,<\,a\,<\,\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex3]
[tex3]d)\, nda[/tex3]

Resposta

---

b

[VALDECIRTOZZI]

Temos que:
[tex3]\frac{x-a}{x^2+1}<\frac{x+a}{x^2}[/tex3]
[tex3]\frac{x-a}{x^2+1}-\frac{x+a}{x^2}<0[/tex3]
[tex3]\frac{x^2(x-a)-(x^2+1)(x+a)}{x^2(x^2+1)}<0[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel{x^3}-ax^2-\cancel{x^3}-ax^2-x-a}{x^2(x^2+1)}<0[/tex3]
[tex3]\frac{-2ax^2-x-a}{x^2(x^2+1)}<0[/tex3]

Agora, repare que o denominador [tex3]x^2(x^2+1)[/tex3] é sempre positivo para qualquer valor de [tex3]x[/tex3].

Então para que a expressão seja negativa, o termo [tex3]-2ax^2-x-a<0[/tex3] ou [tex3]2ax^2+x+a>0[/tex3]

Ora, para que essa expressão seja sempre positiva temos que ter [tex3]2a> 0[/tex3] e [tex3]\Delta <0[/tex3]
Então: [tex3]2a>0 \Longleftrightarrow a> 0[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
[tex3]\Delta=1^2-4 \cdot 2a \cdot a=1-8a^2[/tex3]
[tex3]1-8a^2<0[/tex3]

Resolvendo a inequação [tex3]1-8a^2<0[/tex3]
[tex3]1-8a^2=0[/tex3]
[tex3]8a^2=1[/tex3]
[tex3]a^2=\frac{1}{8}[/tex3]
[tex3]a=\pm \frac{1}{2\sqrt2}=\pm \frac{\sqrt2}{4}[/tex3]

Isso nos mostra que [tex3]\left\{a\in \mathbb{R}\,\,\Bigg|\,\, a <-\frac{\sqrt2}{4} \text{ ou } a>\frac{\sqrt2}{4}\right\}[/tex3] [tex3](II)[/tex3]

Fazendo a intersecção da condição [tex3](I) \ e \ (II)[/tex3], temos a opção [tex3]\boxed{\boxed{B}}[/tex3]