Pré-Vestibular ⇒ (OSEC-1982) Progressão Aritmética Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Numa sucessão aritmética de razão 3 a soma dos n primeiros termos é igual a 28. Dobrando-se o número de termos,a soma dos mesmos passa a ser 248. Neste caso,o décimo termo da sucessão é o valor:
a) 22
b) 18
c) 24
d) 20
e) 16

Resposta

---

d

[poti]

[tex3]\frac{(a_1 + a_n)n}{2} = 28[/tex3]

[tex3]\frac{(a_1 + a_{2n})\cancel{2}n}{\cancel{2}} = 248[/tex3]

Simplificando-as:

[tex3](a_1 + a_n)n = 56[/tex3] (I)

[tex3](a_1 + a_{2n})n = 248[/tex3] (II)

O truque agora é brincar com a expressão do termo geral, lembrando a razão [tex3]r = 3[/tex3]. Veja:

[tex3]a_{10} = a_1 + 9\cdot r = a_1 + 27[/tex3]

Isolando:

[tex3]\boxed{a_1 = a_{10} - 27}[/tex3] (III)

Novamente:

[tex3]a_n = a_{1} + (n-1)\cdot r \ \ \rightarrow \ \ \boxed{a_n = a_{10} - 27 + 3(n-1)}[/tex3] (IV)

[tex3]a_{2n} = a_{1} + (2n-1) \cdot r \ \ \rightarrow \ \ \boxed{a_{2n} = a_{10} - 27 + 3(2n-1)}[/tex3] (V)

Substituindo (III), (IV) e (V) em (I) e (II):

[tex3]\begin{cases}(I): (a_{10} - 27 + a_{10} - 27 + 3(n-1))n = 56\\(II): (a_{10} - 27 + a_{10} - 27 + 3(2n-1))n = 248\end{cases}[/tex3]

Sistema de duas incógnitas e duas equações. Obterá como respostas:

[tex3]\boxed{a_{10} = 20, \ n = 8}[/tex3]

Letra D

Obs: Achará outra dupla de solução porque o sistema é de segundo grau, mas não baterá com as alternativas. Se precisar de ajuda pra resolver o sistema, peça.

Abraço!