Ensino Médio ⇒ Equações Diofantinas Tópico resolvido

[pgavp2012]

Determine o número de soluções inteiras positivas da equação :

[tex3]2x+3y=763[/tex3]

[tex3]A)255[/tex3]
[tex3]B)254[/tex3]
[tex3]C)128[/tex3]
[tex3]D)127[/tex3]
[tex3]E)0[/tex3]

Ajudem ae Pf

[Cássio]

Olá.

As soluções de um equação diofantina da forma [tex3]ax+by=c[/tex3] são todas da forma

[tex3]x=x_0+bt[/tex3] e [tex3]y=y_0-at,[/tex3] onde [tex3]x_0[/tex3] e [tex3]y_0[/tex3] são soluções particulares da equação e [tex3]t\in\mathbb{Z}.[/tex3].

Bom, existe um método para encontrar uma solução particular de um equação da forma [tex3]ax+by=\text{mdc}(a,b),[/tex3] mas nesse caso, vamos buscar um solução por tentaviva mesmo.

Veja que [tex3]1=(-1)\cdot 2+3\cdot (1)\ \Longrightarrow\ 763=(-763)\cdot 2+3\cdot (763)[/tex3]

Então, uma solução particular é [tex3]x_0=-763[/tex3] e [tex3]y_0=763.[/tex3]

[tex3]x=-763+5t[/tex3]

[tex3]y=763-3t[/tex3]

Como queremos as soluçoes positivas, temos:

[tex3]\begin{cases}x=-763+5t>0\ \ \Longrightarrow t>\dfrac{763}{5}\approx 152\Longrightarrow t\ge 153\\ \ \\ y=763-3t>0\Longrightarrow\ \ t<\dfrac{763}{3}\approx 254,33\ \ \Longrightarrow \ \ t\le 254\end{cases}[/tex3]

Então [tex3]153\le t\le 254[/tex3]. Nesse intervalo temos [tex3]102[/tex3] números inteiros, então, eu diria que existem 102 soluções inteiras positivas.

[Dick]

[tex3]2x+3y=763[/tex3] [tex3]\rightarrow x= \frac{763-3y}{2}[/tex3] (1)

[tex3]x=381-y+\frac{1-y}{2}[/tex3]; como x e y são inteiros, então a fração gerará quociente inteiro:

Se [tex3]\frac{1-y}{2}=k \rightarrow y=1-2k[/tex3] (2)

Substituindo (2) em (1): [tex3]x=\frac{763-3(1-2k)}{2} \rightarrow x= \frac{760+6k}{2} \rightarrow x=380+3k[/tex3] (3)

Como os valores de x e y deverão ser positivos, temos:

[tex3]x=380+3k>0[/tex3] [tex3]\rightarrow 3k> -380[/tex3] [tex3]\rightarrow k> \frac{-380}{3}[/tex3] [tex3]\geq -126[/tex3] (aprox.)

[tex3]y=1-2k>0[/tex3] [tex3]\rightarrow -2k> -1[/tex3] [tex3]\rightarrow k< \frac{1}{2}[/tex3] [tex3]\leq 0[/tex3] (aprox. inteiro)

Da intersecção de k em x e y: [tex3]-126\leq k \leq 0[/tex3]

Portanto poderá ter 127 valores: k={-126; -125; ...; -1; 0}

[tex3]\text {k} \text {x=380+3k} \text {y=1-2k}\\

\text {-126} \text {380-378=2} \text { 1-2(-126)=253}\\

\text {-125 } \text {380-375=5} \text {1-2(-125)=251}\\
------------------------------------------------------\\
\text {-1} \text {380-3=377} \text {1-2(-1)=3}\\

\text {0} \text {380-0=380} \text {1-2(0)=1}[/tex3]

Resposta: O número de soluções inteiras será 127 (D)

[Cássio]

Olá.

As soluções de um equação diofantina da forma [tex3]ax+by=c[/tex3] são todas da forma

[tex3]x=x_0+bt[/tex3] e [tex3]y=y_0-at,[/tex3] onde [tex3]x_0[/tex3] e [tex3]y_0[/tex3] são soluções particulares da equação e [tex3]t\in\mathbb{Z}.[/tex3].

Bom, existe um método para encontrar uma solução particular de um equação da forma [tex3]ax+by=\text{mdc}(a,b),[/tex3] mas nesse caso, vamos buscar um solução por tentaviva mesmo.

Veja que [tex3]1=(-1)\cdot 2+3\cdot (1)\ \Longrightarrow\ 763=(-763)\cdot 2+3\cdot (763)[/tex3]

Então, uma solução particular é [tex3]x_0=-763[/tex3] e [tex3]y_0=763.[/tex3]

[tex3]x=-763+5t[/tex3]

[tex3]y=763-3t[/tex3]

Ops, cometi um erro aqui. O coeficiente [tex3]a[/tex3] na equação é [tex3]2,[/tex3] e não [tex3]3,[/tex3] como usei, assim como o coeficiente [tex3]b,[/tex3] que na verdade é [tex3]3[/tex3]. Nesse mesmo dia me foi proposto pra resolver a equação [tex3]3x+5y=50,[/tex3] então acabei confundindo...

Como queremos as soluçoes positivas, temos:

[tex3]\begin{cases}x=-763+3t>0\ \ \Longrightarrow t>\dfrac{763}{3}\approx 254,33...\Longrightarrow t\ge 255\\ \ \\ y=763-2t>0\Longrightarrow\ \ t<\dfrac{763}{2}= 381,53\ \ \Longrightarrow \ \ t\le 381\end{cases}[/tex3]

Então [tex3]255\le t\le 381[/tex3]. Nesse intervalo temos [tex3]127[/tex3] números inteiros. Realmente 127 soluções, como achou o Dick.

[pgavp2012]

Valeu rapazeada